Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 21 стр.

      τ '( s) = kν , ν ' ( s) = −kτ + χ β ,            β ' ( s) = − χν .
Вся теория гладких линии основана на применении этих формул.
        Найдём формулу для вычисления кручения, если линия γ задана

естественным уравнением r = r ( s ) или r = x( s )i + y ( s ) j + z ( s )k .

        Первую         формулу            Френе            можно                записать     так:     r" ( s ) = k v .
Продифференцируем это соотношение по s и используем вторую формулу
Френе: r" ' ( s ) = k 'ν + k v' , получим

                     r" ' = k (− kτ + χ β ) + k 'ν = − k 2 τ + kχ β + k 'ν .

Таким образом, смешанное произведение векторов по базису τ , v, β найдётся,
как
                                                                        1          0   0
       r '⋅r"⋅r" ' = τ ⋅ (k v) ⋅ (− k 2 τ + kχ β + k ' v) =             0          k   0   = k 2χ .
                                                                     − k2        k ' kχ
Отсюда получаем искомую формулу для кручения линии:
                                                      r '⋅r"⋅r" '
                                                 χ=                                                         (2.18)
                                                          k2
или в координатах


                                      x' ( s)        y' (s)         z ' (s)                                 (2.19)
                            1
                         χ= 2        x' ' ( s)      y' ' ( s)       z ' ' ( s) .
                           k
                                     x' ' ' ( s )   y ' ' ' ( s) z ' ' ' ( s)


        Линия γ называется плоской, если все её точки лежат в некоторой
плоскости.
        Примем без доказательства следующее утверждение.
        Теорема 2.1. Кручение плоской линии во всех точках равно нулю.
Верно и обратное утверждение.




                                                                                                                  21