Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

18
Итак, в условиях утверждения абсолютное кручение |χ| существует и
может быть найдено по формуле
(
)
[]
2
''r',r
'''r''r'r
χ
⋅⋅
=
.
Определим кручение χ кривой с помощью равенства
(
)
[]
2
''r',r
'''r''r'r ⋅⋅
+=
χ
.
2.7. Формулы Френе
Рассмотрим регулярную (трижды непрерывно дифференцируемую)
кривую
)(srr = . Если в
3
E выбрана прямоугольная система координат, то
kszjsyisxsr )()()()(: ++=
γ
.
Вектор
ds
rd
=
τ
является единичным вектором касательной к линии
γ
в
точке M , где
r
OM = .
Вектор
ds
d
N
τ
=
называется вектором кривизны линии
γ
в точке M и
)("
2
2
sr
ds
rd
N == .
Прямая, проходящая через точку M в направлении N называется
главной нормалью линии
γ
в точке M (рис. 5).
(2.13) 
    Итак, в условиях утверждения абсолютное кручение |χ| существует и
может быть найдено по формуле

                                             (r' ⋅ r'' ⋅ r''' )
                                       χ=                       .
                                                [r', r'' ]2



    Определим кручение χ кривой с помощью равенства

                                              (r' ⋅ r'' ⋅ r''' )
                                     χ =+                        .      (2.13)
                                                 [r', r'' ]2




       2.7. Формулы Френе

       Рассмотрим регулярную (трижды непрерывно дифференцируемую)
 кривую r = r (s) . Если в E3 выбрана прямоугольная система координат, то

                         γ : r ( s ) = x( s )i + y ( s) j + z ( s)k .
                  dr
     Вектор τ =      является единичным вектором касательной к линии γ в
                  ds
точке M , где OM = r .
                  dτ
     Вектор N =      называется вектором кривизны линии γ в точке M и
                  ds
   d2r
N = 2 = r" ( s ) .
   ds
    Прямая, проходящая через точку M в направлении N называется
главной нормалью линии γ в точке M (рис. 5).




                                                                            18

Страницы