Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
(
2.10
)
(
2.11
)
(
2.12
)
Отсюда, используя распределительное свойство векторного произ-
ведения и известную формулу
[
]
[
]
(
)()
abcacbcba
−
=
,, для двойного
векторного произведения, найдем
[
]
[
]
[
]
MP
''r',r''r',r , ,ΔΔ tβt''')r''r'r('r
Pp
+=
где
[
]
α''r',rβ
P
=
, и поэтому β→0 при ∆t→0. Из последнего
выражения для
[
]
[
]
[
]
MP
''r',r''r',r , получаем следующую формулу:
[
]
[
]
[
]
t,εt''')r''r'r('r''r',r''r',r
PP
MP
ΔΔ, +=
где
ε→0 при ∆t→0.
Путем аналогичных рассуждений получается также следующая
формула:
[
]
[
]
[
]
tμ''r',r''r',r''r',r
PMP
Δ
2
+=⋅
где
μ→0 при ∆t→0.
Из формул (2.10) и (2.11) получаем нужное нам выражение для
sin
φ:
(
)
(
)
[]
tμ''r',r
tε'''r''r'r'r
Δ
Δ
sin
2
+
+⋅⋅
=
ϕ
.
Отметим, что в этом выражении значения производных векторной
функции
()
tr вычислены в точке Р.
() () ()
tδtt'rtτrdττ'rs
tt
t
Δ+Δ=Δ==
∫
Δ
+
.
Обращаясь к выражению (2.12) для s, используя только что
полученную формулу для sin φ и
известный предел 1
sin
→
ϕ
ϕ
при φ → 0,
убедились, что предел
s
ϕ
при s → 0 существует и равен
()
[]
2
''r',r
'''r''r'r ⋅⋅
. 
      Отсюда, используя распределительное свойство векторного произ-
ведения     и    известную              формулу             [a, [b, c]] = b(ac ) − c(ab )           для      двойного
векторного произведения, найдем

                             [[r', r'' ]P , [r', r'' ]M ] = r' p( r' r'' r''')P Δ t + β Δ t ,
где           [ ]
         β = r', r'' P α ,       и        поэтому            β→0          при ∆t→0.                Из     последнего

выражения для          [[r', r'' ]P , [r', r'' ]M ]    получаем следующую формулу:

                             [[r', r'' ]P , [r', r'' ]M ] = r' P     ( r' r'' r''')P Δ t + ε Δ t,                    (2.10)

где ε→0 при ∆t→0.

      Путем аналогичных рассуждений получается также следующая
формула:

                                     [r', r'' ]P ⋅ [r', r'' ]M = [r', r'' ]2 P + μ Δ t                               (2.11)

где μ→0 при ∆t→0.

      Из формул (2.10) и (2.11) получаем нужное нам выражение для
sin φ:


                                         sin ϕ =
                                                      ( r' (r' ⋅ r'' ⋅ r''' ) + ε )Δ t .
                                                           [r', r'' ]2 + μ Δ t
      Отметим, что в этом выражении значения производных векторной
функции r (t ) вычислены в точке Р.

                                       t + Δt
                                s=       ∫ r' (τ ) dτ = r (τ )Δt = r' (t ) Δt + δΔt .                                (2.12)
                                         t

      Обращаясь к выражению (2.12) для s, используя только что
                                                                                            ϕ
полученную формулу для sin φ и известный предел                                                     → 1 при φ → 0,
                                                                                           sin ϕ

                                   ϕ                                                          (r' ⋅ r'' ⋅ r''' )
убедились, что предел                    при s → 0 существует и равен                                            .
                                   s                                                             [r', r'' ]2


                                                                                                                         17

Страницы