Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
где β и μ стремятся к нулю при ∆t→ 0. Так как φ→ 0 при ∆t→0, то 1
sin
→
ϕ
ϕ
при ∆t→ 0. Поэтому из соотношения (2.6) следует, что при ∆t→0, т.е. M→P
предел
s
ϕ
существует и равен
(
)
(
)
[
]
()
3
t'r
t''r,t'r
. Утверждение доказано. ■
Итак, при условиях утверждения кривизна
k
существует и может быть
найдена по формуле
(
)
(
)
[
]
()
3
t'r
t''r,t'r
k =
.
Замечание 2.2. Если в качестве параметра на кривой выбрана длина
дуги
s, так что
()
srr = , то
(
)
=s'r 1 и вектор
(
)
s''r ортогонален вектору
(
)
s'r .
В этом случае, очевидно, формула (2.7) примет следующий вид
(
)
s''rk = .
На всей линии
γ
кривизна k есть функция параметра s, т.е. k=k(s).
Если в данной точке
M имеем 0
≠
k
, то число
k
1
=
ρ
называется радиусом
кривизны
линии в точке M.
Таким образом, если линия задана в естественной параметризации, то её
кривизна вычисляется по формуле:
2
2
ds
rd
ds
d
k ==
τ
или в координатах:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ds
zd
ds
yd
ds
xd
k
.
Примем без доказательства следующее утверждение.
Утверждение 2.3. Для того, чтобы линия была простейшей (прямая,
отрезок, луч) необходимо и достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в
каждой точке этой линии
.
(
2.7
)
(2.8) 
                                                                                               ϕ
где β и μ стремятся к нулю при ∆t→ 0. Так как φ→ 0 при ∆t→0, то                                    →1
                                                                                             sin ϕ

при ∆t→ 0. Поэтому из соотношения (2.6) следует, что при ∆t→0, т.е. M→P

         ϕ                            [r' (t ), r'' (t )]
предел       существует и равен                      3
                                                                . Утверждение доказано. ■
         s                                 r' (t )

     Итак, при условиях утверждения кривизна k существует и может быть
найдена по формуле

                                               [r' (t ), r'' (t )]                              (2.7)
                                          k=                       3
                                                                       .
                                                         r' (t )

     Замечание 2.2. Если в качестве параметра на кривой выбрана длина
дуги s, так что r = r (s ) , то r' (s ) = 1 и вектор r'' (s ) ортогонален вектору r' (s ) .

В этом случае, очевидно, формула (2.7) примет следующий вид

                                             k = r'' (s ) .                                     (2.8)

     На всей линии γ кривизна k есть функция параметра s, т.е. k=k(s).
                                                                               1
Если в данной точке M имеем k ≠ 0 , то число ρ =                                 называется радиусом
                                                                               k
кривизны линии в точке M.
     Таким образом, если линия задана в естественной параметризации, то её
кривизна вычисляется по формуле:
                                        dτ   d2r
                                     k=    =
                                        ds   ds 2

или в координатах:
                                      2                     2              2
                             ⎛ d 2x ⎞ ⎛ d 2 y ⎞ ⎛ d 2z ⎞
                         k = ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ .
                             ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠
     Примем без доказательства следующее утверждение.
     Утверждение 2.3. Для того, чтобы линия была простейшей (прямая,
отрезок, луч) необходимо и достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в
каждой точке этой линии.
                                                                                                   15

Страницы