Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
Пусть точки Р и М кривой отвечают соответственно значениям t и t+∆t
параметра. Вычислим sin φ и s. Так как кривая γ регулярна, то
)(' tr ≠ 0 в
любой точке кривой γ
, и поэтому
)Δ(')('
|)](''),('[|
sin
ttrtr
trtr
+
=
ϕ
,
tttrtrdrs
tt
t
Δ+Δ=Δ==
∫
+
δτττ
|)('||*)('||)(|
Δ
,
где
δ
→0 при ∆t→0.
Отметим, что при преобразованиях выражения для s мы восполь-
зовались формулой среднего значения для интеграла и непрерывностью
функции
)(' tr.
Преобразуем выражение (2.3) для sin φ. По формуле Тейлора
tttrtrttr Δ+Δ+=Δ+
α
)('')(')(' , α→0 при t→0.
С помощью этой формулы выражение (2.3) для sin φ принимает
следующий вид:
,
)('
|)](''),('[|
sin
2
ε
β
ϕ
+
+
=
tr
trtr
где β→0 и ε→ 0 при ∆t→ 0.
Обращаясь к формулам (2.4) и (2.5) и используя при φ≠0 тождество
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
sins
=
(при φ = 0 отношение
s
ϕ
равно нулю), получим
(
)
(
)
[
]
()
μt'r
βt''r,t'r
s
+
+
=
3
sin
ϕ
ϕϕ
,
(
2.3)
(
2.5)
(
2.6)
(
2.4)
        Пусть точки Р и М кривой отвечают соответственно значениям t и t+∆t
параметра. Вычислим sin φ и s. Так как кривая γ регулярна, то r ' (t ) ≠ 0 в
любой точке кривой γ, и поэтому

                                                            | [r ' (t ), r ' ' (t )] |
                                             sin ϕ =                                      ,         (2.3)
                                                           r ' (t ) r ' (t + Δ t )

                                   t +Δ t
                              s=     ∫ | r (τ ) | dτ =| r ' (τ *) | Δ t =| r ' (t ) | Δt + δ Δt ,   (2.4)
                                     t




где δ →0 при ∆t→0.
        Отметим, что при преобразованиях выражения для s мы восполь-
зовались формулой среднего значения для интеграла и непрерывностью
функции r ' (t ) .

        Преобразуем выражение (2.3) для sin φ. По формуле Тейлора

        r ' (t + Δt ) = r ' (t ) + r ' ' (t )Δt + α Δt ,          α→0 при t→0.

        С помощью этой формулы выражение (2.3) для sin φ принимает
следующий вид:

                                                         | [r ' (t ), r ' ' (t )] | + β
                                            sin ϕ =                     2
                                                                                          ,         (2.5)
                                                               r ' (t ) + ε

где β→0 и ε→ 0 при ∆t→ 0.
         Обращаясь к формулам (2.4) и (2.5) и используя при φ≠0 тождество
ϕ         ϕ sin ϕ                      ϕ
    =             (при φ = 0 отношение                                равно нулю), получим
s       sin ϕ ϕ                        s


                                            ϕ        ϕ       [r' (t ), r'' (t )] + β                (2.6)
                                                =                                             ,
                                            s       sin ϕ                   3
                                                                  r' (t ) + μ




                                                                                                       14

Страницы