Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 16 стр.

    2.6. Кручение кривой

    Пусть Р — произвольная фиксированная точка регулярной кривой
γ : r = r (t ) без особых точек и М — точка этой кривой, отличная от Р.
Обозначим через φ угол между соприкасающимися плоскостями в точках
Р и М, а через s – длину дуги РМ.

    Определение 2.8. Абсолютным кручением |χ| кривой γ в точке Р назы-
вается предел отношения φ/s при s → 0 (т. е. при М→Р).

    Справедливо следующее утверждение.

    Утверждение 2.4. Регулярная (трижды дифференцируемая) кривая γ
без особых точек имеет в каждой точке, где кривизна отлична от нуля,
определенное абсолютное кручение.

    Докажем это утверждение.

    Пусть точки Р и М кривой γ отвечают соответственно значениям t и t +
∆t параметра. Нормали к соприкасающимся плоскостям в Р и М
определяются векторами векторных произведений r', r''                              [ ]P               [ ]M .
                                                                                                 и r', r''      По

формуле Тейлора с учетом равенства                      [r', r'' ] = 0 получим
          [r', r'' ]M = [r', r'' ]P + ([r', r'' ])P Δ t + αΔ t = [r', r'' ]P + [r', r'' ']P Δt + α Δ t         (2.9)

где α → 0 при ∆t→ 0.

    Для вычисления предела φ/s при s→0 нам понадобится значение синуса
угла φ между нормалями к соприкасающимся плоскостям в точках Р и М.
Для этой цели найдем модуль векторного произведения r', r'' P и r', r''                    [ ] [ ]M , а
также произведение модулей этих векторов. С помощью (2.9) получим

                 [[r', r'' ]P , [r', r'' ]M ] = [[r', r'' ]P , ([r', r'' ]P + [r', r'' ]P Δ t + α Δ t )].


                                                                                                                 16