Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 13 стр.

  2         2     (e t − e − t ) 2 (e t + e − t ) 2      2e 2t + 2e −2t + 4 2(e t + e −t ) 2
sh t + ch t + 1 =                 +                 +1 =                   =                 = 2 ch 2 t
                        4                4                       4                4

                 t
Тогда       s = a ∫ 2 ch t dt = a 2 sh t t0 = a 2 sh t .        Выразим         из     равенства
                 0

                                                   s                                         s
s = a 2 sh t параметр t. Имеем sh t =                   и, следовательно, t = arcsh               .
                                                 a 2                                       a 2
Таким образом, получены естественные уравнения кривой
⎧          ⎛          s ⎞
⎪ x = a ch⎜ arcsh a 2 ⎟;
⎪          ⎝            ⎠
⎪          ⎛          s ⎞
⎨ y = a sh ⎜ arcsh      ⎟;
⎪          ⎝       a 2⎠
⎪                s
⎪ z = a arcsh       .
⎩              a 2


      2.5. Кривизна кривой
       Пусть     Р     —      произвольная       фиксированная         точка
регулярной кривой γ без особых точек и M — точка этой
кривой, отличная от Р. Обозначим через φ угол между
касательными в точках Р и М, а через s — длину дуги РМ
(рис. 4).

      О п р е д е л е н и е 2 . 7 . К р и в и з н о й k кривой γ в
точке Р называется предел отношения φ / l при s→0 т. е.
                                  ϕ                                                   Рисунок 4
при М→P или k = lim                   .
                           s →0   l

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 2.2. Регулярная (дважды дифференцируемая) кривая γ
без особых точек имеет в каждой точке определенную кривизну k.
      Докажем это утверждение.



                                                                                                 13