Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 11 стр.

    Получим уравнение соприкасающейся плоскости в другой форме. Так
как векторы R – r(t) , r ' (t ) , r''(t) компланарны, то вектор R удовлетворяет
следующему уравнению

                                 (R − r (t )) r' (t ) r'' (t ) = 0 .              (2.1)

     Если X, У, Z — координаты вектора R (координаты переменной точки s
плоскости π), а х(t), у(t), z(t) — координаты вектора r (t ) , то в координатной
форме уравнение (2.1) запишется следующим образом:

                          ⎡ X − x(t ) Y − y (t ) Z − z (t )⎤
                          ⎢ x' (t )     y ' (t )   z ' (t ) ⎥ = 0 .           (2.2)
                          ⎢                                   ⎥
                          ⎢⎣ x' ' (t ) y ' ' (t ) z ' ' (t ) ⎥⎦

Уравнение (2.2), очевидно, представляет собой уравнение соприкасающейся
плоскости.

    З а м е ч а н и е 2 . 1 . Соприкасающаяся плоскость определена геометрически
с помощью предельного перехода, и поэтому в случае ее существования она
будет единственна. Отсюда и из доказанного в этом пункте утверждения
вытекает, что если в данной точке кривой существует соприкасающаяся
плоскость, то при любой параметризации кривой вектор r'' (t ) параллелен этой
плоскости.

      2.4. Длина дуги как параметр

      Выберем на гладкой кривой γ : r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k некоторую
точку M 0 , соответствующую значению параметра t = t 0 и назовём её
начальной точкой.
        Длина дуги, имеющий начало в точке M 0 и конец в произвольной
точке М, определяется, как известно из курса математического анализа, по
формуле:




                                                                                   11