Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 9 стр.

     Пусть γ – элементарная кривая и a ≤ t ≤ b – отрезок, образом которого
при отображении f является кривая; f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) − координаты точки
кривой, соответствующие точке t отрезка.
                                                                           ⎧ x = f 1 (t )
                                                                           ⎪
      Определение      2.5.      Система             равенств              ⎨ y = f 2 (t )         называется
                                                                           ⎪⎩ z = f 3 (t )

параметрическими уравнениями кривой γ .
      Определение 2.6. Кривая                γ     называется регулярной (k – раз
дифференцируемой), если функции                   f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) имеют непрерывные
производные до порядка k включительно. При k = 1 кривая называется
гладкой.


       2.2. Касательная прямая к кривой

       Пусть задана гладкая кривая γ , и её уравнение имеет вид r = r (t ) или

                            r (t ) = f1 (t )i + f 2 (t ) j + f 3 (t )k .
       Возьмём на линии γ две точки М и М1, соответствующие значениям
параметра t и      t + Δt     (рис. 2). Вектор                  Δ r = r (t + Δ t ) − r (t )          является

                                                                                                           Δr
направляющим вектором секущей прямой ММ1. Следовательно, вектор
                                                                                                           Δt
также направляющий вектор секущей                         ММ1. Когда Δt → 0 , точка М1
                                                                                             Δr
неограниченно приближается по кривой к точке М, вектор                                             стремится
                                                                                             Δt
занять положение касательной в точке М (касательная к кривой в точке
определяется как предельное положение секущей).
                                            Δr
        Вместе с тем отношение                 стремится к производной                              r'   как к
                                            Δt
своему пределу. Отсюда следует, что производная от радиус – вектора точки
параметрической кривой есть вектор, направленный по касательной к этой
кривой в сторону возрастания параметра t.

                                                                                                             9