Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 7 стр.

( r (t ) ⋅ r '(t ) ) = const; дифференцируя это равенство, получаем 2(r (t ), r ' (t )) = 0 ,

т.е. (r (t ) ⋅ r ' (t )) = 0 , что и требовалось доказать.

       Определение 1.4. Дифференциалом вектор-функции r (t ) называется

вектор d r = dx ⋅ i + dy ⋅ j + dz ⋅ k .

       Иначе говоря, d r = x' (t )dt ⋅ i + y ' (t )dt ⋅ j + z ' (t )dt ⋅ k = r ' (t )dt .
       Дифференциал вектор-функции равен произведению ее производной на
дифференциал (т. е. приращение) независимой переменной. Как и в случае
скалярной функции, дифференциал d r вектор-функции отличается от ее
приращения ∆ r на величину выше первого порядка малости относительно
∆ t.

       1.3. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу

       Для вектор-функции r (t ) , заданной на отрезке a ≤ t ≤ b , как и для
обычных скалярных функций, можно составить интегральные суммы и
рассмотреть их предел при стремлении к нулю максимальной длины
отрезков, на которые разбит отрезок [а, b]. Этот предел называется
                                                                                     b

интегралом от r (t ) по отрезку [а, b] и обозначается символом                       ∫ r (t ) dt .
                                                                                     a

               b                b                b                 b
При этом       ∫ r (t )dt = i ⋅ ∫ x(t )dt + j ⋅ ∫ y (t )dt + k ⋅ ∫ z (t )dt .
               a                a                a                 a

       На интегралы от вектор-функций распространяются обычные свойства
интегралов от скалярных функций.


       2. Сведения из теории кривых

       2.1.    Элементарная кривая

       Пусть M – любое множество точек пространства.



                                                                                                     7