Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

6
1) если const)( =tr , то 0)(' =tr ;
2)
()
(
)
()
,t'rk'trk = где const
=
k
;
3)
)(')()()('))'()(( trtutrtutrtu += , где u(t) – скалярная функция;
4)
)(')('))'()((
2121
trtrtrtr ±=± ;
5) ))(')(())()('())'()((
212121
trtrtrtrtrtr ⋅+⋅=⋅ – для скалярного
произведения;
6)
() ()
[
]
()
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
t'r,tr+tr,t' r='tr,tr
212121
– для векторного произведения;
7)
если
(
)
tr=r и
()
τ
t=t , то
τ
τ
d
dt
dt
rd
d
rd
= – правило дифференцирования
сложной функции.
Пример 1.1. Задана векторная функция
() ( ) ()()
,kbtjtaitatr ++= sincos где a, b – const. Найти )(' tr.
Решение
. Координатами вектора )(tr является числовые функции
x
(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) = bt.
Тогда
.)cos()sin()(' kbjtaitatr ++−= ■
Отметим следующие частные случаи дифференцирования вектор-
функции:
а)
Производная вектора постоянного направления. Пусть вектор )(tr
имеет постоянное направление (т. е. от t зависит лишь его длина). Тогда
векторы
)(tr и )(' tr коллинеарны. Действительно, в этом случае )(tr можно
записать в виде
etutr ⋅= )()(, где и(t) – скаляр, а e – постоянный вектор,
например единичный. Тогда
etutr ⋅= )(')(', т.е.
)(
)(
)('
)('
tr
tu
tu
tr =
.
б) Производная вектора постоянной длины. Если | )(tr | = const, то
векторы
)(tr
и )(' tr взаимно ортогональны. Действительно, в этом случае 
    1) если r (t ) = const , то r ' (t ) = 0 ;

         (       )
    2) k r (t ) ' = k r' (t ), где k = const ;

    3) (u (t )r (t ))' = u ' (t )r (t ) + u (t )r ' (t ) , где u(t) – скалярная функция;

    4) (r 1 (t ) ± r 2 (t ))' = r 1 ' (t ) ± r 2 ' (t ) ;

    5) (r 1 (t ) ⋅ r 2 (t ))' = (r 1 ' (t ) ⋅ r 2 (t )) + (r 1 (t ) ⋅ r 2 ' (t )) – для скалярного
        произведения;
         [               ] [                     ] [             ]
    6) r 1 (t ), r 2 (t ) ' = r 1' (t ), r 2 (t ) + r 1 (t ), r 2' (t ) – для векторного произведения;

                                                     d r d r dt
    7) если r = r (t ) и t = t (τ ) , то                =       – правило дифференцирования
                                                     dτ dt dτ
        сложной функции.


        Пример 1.1. Задана векторная функция
r (t ) = (a cos t ) i + (a sin t ) j + (bt ) k ,       где a, b – const.     Найти r ' (t ) .

        Решение. Координатами вектора r (t ) является числовые функции
                            x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) = bt.
Тогда r ' (t ) = −(a sin t )i + (a cos t ) j + bk . ■
        Отметим следующие частные случаи дифференцирования вектор-
функции:
        а) Производная вектора постоянного направления. Пусть вектор r (t )
имеет постоянное направление (т. е. от t зависит лишь его длина). Тогда
векторы r (t ) и r ' (t ) коллинеарны. Действительно, в этом случае r (t ) можно

записать в виде r (t ) = u (t ) ⋅ e , где и(t) – скаляр, а e – постоянный вектор,
                                                                                   u ' (t )
например единичный. Тогда r ' (t ) = u ' (t ) ⋅ e , т.е. r ' (t ) =                         r (t ) .
                                                                                   u (t )

        б) Производная вектора постоянной длины. Если | r (t ) | = const, то

векторы r (t ) и r ' (t ) взаимно ортогональны. Действительно, в этом случае



                                                                                                       6

Страницы