Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

5
1.2. Дифференцирование вектор-функции
Вектор-функция )(tr непрерывна в точке t
0
тогда и только тогда, когда
все три ее компоненты – скалярные функции
)(),(),( tztytx
– непрерывны в
точке t
0
. Сумма, разность, скалярное и векторное произведения непрерывных
вектор-функций непрерывны.
Определение 1.2. Векторная функция )(tr имеет в точке t
производную, если существует предел отношения
t
trttr
Δ
−Δ+ )()(
при
0→Δ
t
.
Обозначается производная через
dt
rd
или )(' tr . Таким образом,
t
trttr
t
tr
Δ
−Δ+
→Δ
=
)()(
0
lim)(' . (1.1)
Легко проверить, что существование
)(' tr равносильно существованию
трех производных х' (t), у' (t) и z' (t), причем
(
)
(
) () ()
ktz'jty'itx't'r ++= .
Определение 1.3. Векторная функция )(tr называется
дифференцируемой на множестве или простой дифференцируемой, если она
дифференцируема в каждой точке этого множества.
Вектор
t
r
Δ
Δ
направлен по секущей ММ
1
годографа функции )(tr (рис. 2), а направление
вектора
t
r
Δ
Δ
– это направление предельной
прямой, к которой стремится эта секущая, когда точка М
1
приближается к М,
т. е. направление касательной к годографу в точке М.
Для вектор-функции имеют место следующие правила дифферен-
цирования:
Рисунок 2 
       1.2. Дифференцирование вектор-функции

       Вектор-функция r (t ) непрерывна в точке t0 тогда и только тогда, когда
все три ее компоненты – скалярные функции x ( t ), y ( t ), z ( t ) – непрерывны в
точке t0. Сумма, разность, скалярное и векторное произведения непрерывных
вектор-функций непрерывны.
      Определение 1.2. Векторная функция                        r (t )   имеет в точке t

                                                                          r (t + Δt ) − r (t )
производную, если существует предел отношения                                                  при
                                                                                  Δt
Δt → 0 .
                                                        dr
       Обозначается производная через                        или r ' (t ) . Таким образом,
                                                        dt
                   r (t + Δt ) − r (t )
r ' (t ) = lim                          .                                                  (1.1)
          Δt → 0           Δt

       Легко проверить, что существование r ' (t ) равносильно существованию

трех производных х' (t), у' (t) и z' (t), причем r' (t ) = x' (t )i + y' (t ) j + z' (t )k .

       Определение               1.3.       Векторная     функция         r (t )    называется
дифференцируемой на множестве или простой дифференцируемой, если она
дифференцируема в каждой точке этого множества.
                   Δr
       Вектор         направлен по секущей ММ1
                   Δt
годографа функции r (t ) (рис. 2), а направление

           Δr
вектора       – это направление предельной
           Δt                                                               Рисунок 2

прямой, к которой стремится эта секущая, когда точка М1 приближается к М,
т. е. направление касательной к годографу в точке М.
       Для вектор-функции имеют место следующие правила дифферен-
цирования:

                                                                                                   5

Страницы