Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 10 стр.

        Чтобы получить уравнение касательной к вектор – функции, выразим
радиус – вектор ρ = {x(t ), y (t ), z (t )} любой точки касательной прямой через

радиус – вектор r начальной точки, направляющий вектор r ' и параметр λ .
        Тогда ρ = r + λ r – уравнение касательной в параметрическом виде.
        Заменяя это векторное уравнение скалярными функциями, получим
параметрические уравнения касательной:
                         ⎧ x (t ) = f1 (t ) + λ f1' (t )
                         ⎪
                         ⎨ y (t ) = f 2 (t ) + λ f 2 (t )
                                                    '


                         ⎪ z (t ) = f (t ) + λ f ' (t )
                         ⎩           3            3


или, исключив параметр λ , каноническое уравнение касательной:
                    x − f1 (t ) y − f 2 (t ) z − f 3 (t )
                                =            =            .
                      f1 ' (t )   f 2 ' (t )   f 3' (t )
        Указанный способ определения касательной, очевидно, неприменим к
той точке t0 , для которой r ' (t 0 ) = 0 . Такие точки будем называть особыми
точками кривой и будем исключать их из рассмотрения.


      2.3. Соприкасающаяся плоскость кривой
      Пусть PQ — касательная в точке Р к кривой γ
(рис. 3). Через касательную PQ и точку M кривой
проведем плоскость PQM. Плоскость π, к которой
стремится плоскость PQM при М → Р, называется
соприкасающейся плоскостью к кривой
                                                                       Рисунок 3
γ в точке Р.

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 2.1. Регулярная, дважды дифференцируемая кривая                   γ
без    особых   точек     имеет         соприкасающуюся       плоскость π каждой
точке, в которой векторы r ' (t ) и не коллинеарны.




                                                                                   10