Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 12 стр.

                                    t         2              2      2
                                        ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
                              s=    ∫   ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt
                                        ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
                                   t0

                                         t
или в векторной форме s =                ∫   r ' (t ) dt .
                                        t0

              Следовательно, длина дуги                  s = s(t) является дифференцируемой
функцией параметра t.
              Так как производная этой функции s ' = r '(t ) > 0 во всех точках

кривой, то функция s = s(t) является возрастающей функцией параметра t.
Ввиду того, что все точки t кривой γ и значения длины дуги s находятся
во взаимно однозначном и непрерывном соответствии, s можно принять за
новый параметр. Такая параметризация называется естественной или
натуральной параметризацией, где                             s – естественный или натуральный
                              ds                                             dr
параметр. Так как                = r ' (t ) , то ds = r ' (t )dt = d r и        = 1.
                              dt                                             ds

                                   dr
Отсюда следует, что                   = r ' ( s ) – единичный вектор. Будем называть его
                                   ds
единичным вектором касательной к линии в точке M и обозначать через τ ,
           dr
т.е.          = τ или r ' ( s ) = τ . Тогда τ = 1 .
           ds
            Задача 2.1. Найти длину дуги гиперболической винтовой линий
⎧ x = a ch t
⎪
⎨ y = a sh t , заключённую между точками O и t.                           Параметризовать при
⎪ z = at
⎩
помощи естественного параметра.
            Решение. Найдём длину дуги
       t                                          t
s = ∫ (a sh t + a ch t ) + a dt = ∫ a sh 2 t + ch 2 t + 1 dt . Вычислим отдельно
               2    2     2    2        2

       0                                          0




                                                                                           12