Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 24 стр.

линии второго семейства – значениями некоторого параметра v. Так как
по условию через каждую точку поверхности проходит единственная
кривая из первого семейства и единственная кривая второго семейства,
то      положение           точки         на       поверхности        однозначно              определяется
соответствующими этим линиям значениями и 0 и v 0 параметров и и v
(рис.6). Параметры и и v, значениями которых определяются линии,
составляющие координатную сеть, называются координатами на
данной поверхности.
        Если на поверхности введены каким-либо образом координаты u, v, то
говорят, что эта поверхность параметризована параметрами u и v. Каждая
точка такой поверхности может быть задана значениями параметров u и
v. Но эта же точка может быть задана и своими декартовыми
координатами.              Следовательно,              декартовы координаты                     точек пара-
метризованной поверхности представляют                                 собой функции координат
на поверхности.
        Пусть        u,     v      –     декартовы         координаты          произвольной          точки,
принадлежащей G , а x, y, z – координаты соответствующей точки
поверхности. Тогда координаты x, y, z есть функции координат u, v при
отображении f, т.е.
                                x = f1 (u, v) , y = f 2 (u, v) , z = f 3 (u, v) .                      (3.1)
Эту систему равенств, задающих отображение f области G в пространство,
называют уравнениями поверхности в параметрической форме. Здесь u, v
называются                криволинейными                координатами                 на        поверхности.
Параметрические уравнения (3.1) при фиксированных значениях u, v задают
кривую, лежащую на поверхности. Будем также пользоваться векторной
записью                   уравнения                  поверхности                    r = r (u , v)      или

r = f1 (u , v)i + f 2 (u , v) j + f 3 (u , v)k .
        Последняя запись есть векторная функция двух скалярных аргументов
u, v.


                                                                                                         24