Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 31 стр.

                                     σ=     ∫ ∫ [r u , r v ] du dv .                         (3.10)
                                           D

        Задача 3.1. Найти первую квадратичную форму поверхностного
вращения           x = ϕ (u ) cos v , y = ϕ (u ) sin v , z = ψ (u ) , где ϕ , ψ – функции,
имеющие непрерывные производные.
        Решение. Имеем            xu = ϕ u cos v , xv = −ϕ sin v , yu = ϕ u sin v , yv = ϕ cos v .
Тогда
            E = (ϕu ' cos ϕ ) 2 + (ϕ u ' sin v) 2 + (ψ u ' ) 2 = (ϕ u ' ) 2 + (ψ u ' ) 2 ,
        F = −ψ u ' cos v ϕ sin v + ϕ ' sin v ϕ cos v + 0 = sin v cos v(ϕ 'ϕ − ϕ 'ϕ ) = 0 ,

                          G = (−ϕ sin v) 2 + (ϕ cos v) 2 + 0 = ϕ 2 .
Таким образом, первая квадратичная форма имеет вид

              I = E (du ) 2 + 2 Fdu dv + G (dv) 2 = (ϕ u ' 2 +ψ 'u 2 )du 2 + ϕ 2 dv 2 . ■
     Мы видим, что зная первую квадратичную форму, можно решать
метрические задачи, т.е. задачи на вычисления.
     В связи с этим говорят, что первая квадратичная форма задаёт метрику
поверхности и её часто называют линейным элементом поверхности. Первая
квадратичная форма описывает поверхность в первом приближении, когда
малый участок поверхности заменяется на участок касательной плоскости.
        Все факты, которые могут быть получены путём измерении на
поверхности с помощью первой квадратичной формы, относятся к так
называемой внутренней геометрии поверхности.

     3.7. Вторая квадратичная форма поверхности

        Вторая квадратичная форма описывает поверхность во втором
приближении. Она показывает, как отклоняется поверхность от касательной
плоскости и полностью определяет кривизну поверхности. Можно было бы
само понятие второй квадратичной формы ввести, исходя из задачи о
вычислении расстояния от точки поверхности до касательной плоскости,
проведенной через близкую точку.

                                                                                                 31