Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 33 стр.

      Тогда равенство (3.11) принимает вид:
d 2 r ⋅ n = L du 2 + 2 M du dv + N dv 2 ≡ II .                                                             (3.12)

В формуле (3.12) правая часть равенства называется второй квадратичной
формой поверхности.
      Замечание 3.4. В частности, если поверхность задана явным
                                                                   z xx                             z xy
уравнением          z = z ( x, y ) ,       то        L=                         ,       M=                          ,
                                                             1 + z2x + z2y                      1+ z2x + z2y
           z yy
N=                     .
       1+ z2x + z2y


     3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности

     Пусть f – регулярная поверхность и γ                                   – регулярная кривая на
поверхности f, проходящая через точку M.
     Предположим, что вдоль этой кривой за параметр принята длина дуги s,
так что текущие координаты u и v выражаются как функции от s
(естественная параметризация кривой): u=u(s), v=v(s) и, следовательно,
кривая γ может быть представлена в виде γ : r = r (u ( s ), v( s )) .

                                                        d2r
      Рассмотрим скалярное произведение r"⋅ n , где r" = 2 и n - единичный
                                                        ds
вектор нормали к поверхности. Тогда r"⋅n = r" n cosθ , где θ есть угол между

главной нормалью v кривой и нормалью n к поверхности.
      Так как r" = k , где k – кривизна кривой, то имеем r"⋅n = k cosθ . С

другой стороны, учитывая, что r ' = ru ⋅ u '+ rv ⋅ v' , имеем



              r ' '⋅n = (r uu u '2 + r u u"+ r uv v' u '+(rvu u '+ rvv v' )v'+ r v v" ) ⋅ n =

                           = (r uu u '2 +2r uv u ' v'+v'2 + r u u"+ rv v" ) ⋅ n =

             = (r uu ⋅ n)u '2 +2(r uv ⋅ n)u ' v'+(r vv ⋅ n)v'2 +(r u ⋅ n)u"+(r v ⋅ n)v" =

                                                                                                               33