Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 33 стр.

ÏÃÓ                                                               Êàô ÂèÏÌ
                  Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2

             РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
                          РАБОТЫ № 2.

         91-100. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

         Р е ш е н и е.
          7 x 4 + 2 x3 + 5                         ¥
а) lim                       . Имеем неопределённость вида
                                                     . Чтобы раскрыть её,
  x ®¥ 6 x 4 + 3 x 2 - 7 x                         ¥
разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x в наивыс-
шей степени, в данном примере на x 4 . Получим
                                         x4        x3       5             2 5
            4       3                7        +2        +             7+     +
         7x + 2x + 5              x4     x4 x 4                            x x4   7
 lim                         = lim                              = lim            = , так как
 x ®¥ 6 x 4 + 3 x 2 - 7 x x ®¥ x 4      x2     x                 x ®¥ 6 + 3 - 7   6
                               6     +3    -7
                                 x4     x4    x4                          x 2 x3
                        2 5    3 7
каждая из дробей ,           ,    ,    ® 0 при x ® ¥ .
                        x x 4 x 2 x3


                x2 - 4                          0
б) lim                     . Имеем неопределённость вида
                                                  . Чтобы раскрыть её,
  x ®-2 3 x 2 + x - 10                          0
разложим числитель и знаменатель дроби на множители, воспользовавшись
формулами сокращённого умножения (см. справочный материал в конце дан-
ного пособия): x 2 - 4 = ( x - 2)( x + 2) и разложением квадратного трёхчлена на
множители. Для чего решим уравнение 3x 2 + x - 10 = 0 . Найдём
            2                                                   -b ± b 2 - 4ac -1 ± 11
  D = b - 4ac = 1 - 4 × 3 × ( -10) = 11,                 x1,2 =               =        ,
                                                                     2a           6
                        5                                   5
откуда следует, что x1 = , x2 = -2 и 3 x 2 + x - 10 = 3( x - )( x + 2) =
                        3                                   3
= (3 x - 5)( x + 2) . Подставим полученные выражения под знак предела, полу-
                  x2 - 4               ( x - 2)( x + 2)        x - 2 -2 - 5 7
чим lim                       = lim                     = lim        =      = .
       x ®-2 3 x 2 + x - 10     x ®-2 (3 x - 5)( x + 2) x ®-2 3 x - 5 -6 - 5 11




                                                    33