Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2
34
в)
3
4
215
lim
64
®
+-
-
x
х
x
. Имеем неопределённость вида
0
0
. Чтобы раскрыть её, ум-
ножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
33
44
( 21 5)( 21 5) 21 25
lim lim
( 64)( 21 5) ( 64)( 21 5)
®®
+- ++ +-
=
-++ -++
xx
хxx
xx xx
.
Знаменатель разложим на множители по формуле разности кубов, получим
22
44
41
lim lim
( 4)( 4 16)( 21 5) ( 4 16)( 21 5)
®®
==
-++++ ++++
xx
x
xxxxxxx
1
.
480
=
г)
0
5 sin
lim
cos2 cos4
®
-
x
xx
xx
. Имеем неопределённость вида
0
0
. Чтобы раскрыть её,
разложим знаменатель на множители по формуле разности косинусов, полу-
чим:
24 24
cos2 cos4 2sin sin 2sin3 sin( ) 2sin3 sin
22
+-
- =- × =- -=
xx xx
x x x x xx
Затем применим I замечательный предел
0
sin
lim 1
x
x
x
®
=
или воспользуемся
свойствами эквивалентных бесконечно малых величин
sin ,sin33
::
xx xx
при
0
®
x
, получим:
0 00
5sin 5 55
lim lim lim
sin3 sin
cos2 cos4 2sin3 sin 6
2
x xx
x x xx
xx
x x xx
xx
® ®®
××
===
-
××
(т.к.
0
sin3
lim 3
x
x
x
®
=
) или
2
0 00
5sin 5 55
lim lim lim
cos2 cos4 2sin3 sin 2 3 6
® ®®
××
= ==
- ××
x xx
xx xxx
x x x x xx
.
д)
(
)
lim 4 ln(1 2 ) ln(3 2 )
®¥
+-+
x
xxx
. Преобразуем выражение, стоящее под зна-
ком предела по свойствам логарифмов
( )
4
12 12
lim 4 ln(1 2 ) ln(3 2 ) lim 4 ln lim ln
32 32
®¥ ®¥ ®¥
++
æ ö æö
+-+==
ç ÷ ç÷
++
è ø èø
x
x xx
xx
xxxx
xx
.
Так как логарифмическая функция непрерывна в области определения, то по
свойству непрерывных функций предел и логарифм можно поменять местами,
т.е.
44
12 12
lim ln ln lim
32 32
®¥ ®¥
++
æö æö
=
ç÷ ç÷
++
èø èø
xx
xx
xx
xx
. Теперь перед нами стоит задача
ÏÃÓ                                                                Êàô ÂèÏÌ
                   Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2

              21 + х - 5                      0
в) lim                     . Имеем неопределённость вида
                                                . Чтобы раскрыть её, ум-
  x ® 4 x3 - 64                               0
ножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
       ( 21 + х - 5)( 21 + x + 5)                        21 + x - 25
lim                                      = lim                              .
x ®4        ( x3 - 64)( 21 + x + 5)        x ® 4 ( x3 - 64)( 21 + x + 5)

Знаменатель разложим на множители по формуле разности кубов, получим
                           x-4                                          1
lim                                              = lim                                     =
x ® 4 ( x - 4)( x 2 + 4 x + 16)( 21 + x + 5)        x ® 4 ( x 2 + 4 x + 16)( 21 + x + 5)

     1
=       .
    480
           5 x × sin x                                        0
г) lim                    . Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её,
  x ® 0 cos 2 x - cos 4 x                                     0
разложим знаменатель на множители по формуле разности косинусов, полу-
                               2x + 4x       2x - 4x
чим: cos 2 x - cos 4 x = -2sin         × sin         = -2sin3 x sin( - x) = 2sin 3 x sin x
                                  2             2
                                                        sin x
Затем применим I замечательный предел lim                      = 1 или воспользуемся
                                                    x ®0 x
свойствами эквивалентных бесконечно малых величин sin x : x, sin 3 x : 3 x
при x ® 0 , получим:
          5 x × sin x              5x × x                   5            5
 lim                    = lim                 = lim                    = (т.к.
x ® 0 cos 2 x - cos 4 x x ® 0 2sin 3 x sin x x ® 0 2 × sin 3 x × sin x 6
                                                          x        x
      sin 3 x                     5 x × sin x             5x × x              5 x2      5
 lim           = 3 ) или lim                    = lim                 = lim            = .
x ®0 x                   x ® 0 cos 2 x - cos 4 x x ® 0 2sin 3 x sin x x ® 0 2 × 3 x × x 6


д) lim 4 x ( ln(1 + 2 x) - ln(3 + 2 x) ) . Преобразуем выражение, стоящее под зна-
     x ®¥
ком предела по свойствам логарифмов
                                                                                      4x
                                                 æ 1 + 2x ö          æ 1 + 2x ö
 lim 4 x ( ln(1 + 2 x) - ln(3 + 2 x) ) = lim 4 x ç ln     ÷ = lim ln ç        ÷            .
x ®¥                                    x ®¥ è 3 + 2 x ø x ®¥ è 3 + 2 x ø
Так как логарифмическая функция непрерывна в области определения, то по
свойству непрерывных функций предел и логарифм можно поменять местами,
                            4x                          4x
            æ 1 + 2x ö                    æ 1 + 2x ö
т.е. lim ln ç        ÷           = ln lim ç         ÷        . Теперь перед нами стоит задача
     x ®¥ è 3 + 2 x ø                x ®¥ è 3 + 2 x ø


                                                  34

Страницы