Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 36 стр.

ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
                Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2

( x1 = 3 - точка разрыва второго рода).
                                1                                      1
Для точки x2 = 4 имеем: lim 8 x - 3 = 81 = 8,                  lim 8 x -3 = 81 = 8 .
                       x ®4- 0                                x® 4+0
Следовательно, в точке x1 = 4 функция f ( x) непрерывна.

     111-120. Задана функция y = f ( x) . Найти точки разрыва функции, ес-
ли они существуют. Сделать чертёж.
                                       ì x 2 , если x £ 0,
                                       ï
                                       ï
                              f ( x) = í( x - 1)2 , если 0 2.
                                       ïî
     Р е ш е н и е. Функция f ( x) определена и непрерывна на интервалах
(-¥;0), (0;2), (2; +¥) , где она задана непрерывными элементарными функ-
циями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x1 = 0 и x2 = 2 .
Для точки x1 = 0 имеем: lim f ( x ) = lim x 2 = 0,
                                  x ®-0           x ®-0
 lim f ( x ) = lim ( x - 1)2 = 1,         f (0) = x 2      = 0,
x ®+0          x ®+0                                  x =0
т.е. функция f ( x) в точке x1 = 0 имеет разрыв первого рода.
 Для точки x2 = 2 находим:
   lim     f ( x) = lim ( x - 1) 2 = 1,
 x ®2- 0             x ® 2-0
  lim     f ( x ) = lim (5 - x) = 3,
x ®2+ 0             x ®2+ 0
f (2) = ( x - 1)2          = 1,
                    x= 2
т.е. в точке x2 = 2 функция f ( x)
также имеет разрыв первого рода.
На рисунке представлен график данной функции.




                                                  36