Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
85
1 3 3 3( 1)
4228
p p+
æö
= +=
ç÷
èø
. Следовательно,
1
3( 1)
2
4
SS
p+
== @3,1.
2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой.
1. Пусть дуга AB плоской кривой задана уравнением
()
y fx
, где
()
fx
– непрерывно дифференцируемая функция.
Тогда длина дуги
AB находится по формуле
2
1 ( ( ))
b
a
l y x dx
¢
=+
ò
.
2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
(), ()
xtyt
=j =y
, где
(), ()
tt
jy
– непрерывно дифференцируемые функции, то
длина дуги
l
вычисляется по формуле
22
( ( )) ( ( ))
l x t y t dt
b
a
¢¢
=+
ò
,
где a, b – значения параметра t , соответствующие концам дуги А и В.
3. Если гладкая кривая заданна уравнением в полярной системе коор-
динат
()
r=r j
, то длина дуги
l
вычисляется по формуле
2
1
22
( ( )) ( ( ))
ld
j
j
¢
= rj+rjj
ò
,
где
1
j
и
2
j
соответствуют концам дуги.
Пример 2
. Вычислить длину дуги кривой lnsin,
32
yx
pp
= £j£
.
Решение.
Длину дуги находим по формуле
2
1 ( ( ))
b
a
l y x dx
¢
=+
ò
,
где
2
2
22
cos cos 1
, , ,1()1
3 2 sin
sin sin
xx
abyy
x
xx
pp
¢¢
=== +=+=.
õ
ó
b
0
a
B
A
l
 ÏÃÓ                                                            Êàô ÂèÏÌ
          Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

 1 æ 3p 3 ö 3(p + 1)                             3(p + 1)
= ç + ÷=             . Следовательно, S = 2 S1 =          @ 3,1.
 4è 2 2ø       8                                    4

                 2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой.

       1. Пусть дуга AB плоской кривой задана уравнением y = f ( x) , где
       f ( x) – непрерывно дифференцируемая функция.
       Тогда длина дуги
                                                                     AB находится по формуле
                     ó                                                           b
                                            B
          A                                                                 l = ò 1 + ( y ¢( x))2 dx .
                           l
                                                                                 a

           a         0                  b           õ


      2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
 x = j(t ), y = y (t ) , где j(t ), y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции, то
длина дуги l вычисляется по формуле
                                                b
                                         l=     ò   ( x¢(t )) 2 + ( y ¢(t )) 2 dt ,
                                                a
где a, b – значения параметра t , соответствующие концам дуги А и В.

     3. Если гладкая кривая заданна уравнением в полярной системе коор-
динат r = r(j) , то длина дуги l вычисляется по формуле
                                            j2
                                       l=       ò   (r(j))2 + (r¢(j)) 2 d j ,
                                            j1
где j1 и j2 соответствуют концам дуги.
                                                                                           p    p
       П р и м е р 2 . Вычислить длину дуги кривой y = ln sin x,                             £j£ .
                                                                                           3    2
                                                                                      b
       Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле l = ò 1 + ( y ¢( x))2 dx ,
                                                                                      a
          p     p               cos x                      cos 2 x   1
где a =     , b= ,       y¢ =         , 1 + ( y ¢) 2 = 1 +         =    .
          3     2               sin x                         2       2
                                                           sin x sin x


                                                    85

Страницы