Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
84
0
32
1
6
2sin 96cos sin
S t t t dt
p
=-×=
ò
=
6
42
0
192 sin cos
t t dt
p
×=
ò
6
22
0
192 (sin cos ) sin
t t t dt
p
×=
ò
6
2
0
sin 2 1 cos2
192
42
tt
dt
p
-
ò
6
22
0
24 (sin2 sin2 cos2)
t t t dt
p
= -×=
ò
6
0
1 cos4
24
2
t
dt
p
-
-
ò
6
2
0
12 sin 2 (sin 2 )
tdt
p
=
ò
6 6 36
0 00
1 sin2
12 12 sin 4 12
43
t
tt
p pp
=-×-=
3
2
12 3sin 4sin
633
ppp
--=
=
3 33 33 33
23 4 2 233.
2 8 22
p- - = p- - = p-
Следовательно,
4 63
S = p-
»
2,17.
Пример 3
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
1 2 cos
r=+j
.
Решение. Найдём пределы интегрирования из условия
( ) 0.
rj³
Следовательно,
133
1 2 cos 0, cos ,
44
2
pp
+ j³ j³- - £j£
.
Но так как фигура расположена симметрично относительно полярной оси в
силу чётности функции
cos
j
, достаточно вычислить половину её площади
1
S
:
33
44
22
1
00
11
(1 2 cos ) (1 2 2 cos 2cos )
44
Sdd
pp
= + j j= + j+ j j=
òò
3
3
4
4
0
0
1 1(1cos2)133
( 2 2 sin ) 2 2 sin
4 22444
d
p
p
+jpp
æö
=j+j+ j=++
ç÷
èø
ò
3
4
0
11 13 2313131
sin2 22sin2
4 2 44 2 4 2 2 42 2
p
æö
p p pp
æ ö æö
+j+j=+×++ =+-=
ç÷
ç ÷ ç÷
è ø èø
èø
 ÏÃÓ                                                                  Êàô ÂèÏÌ
                Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

                      0
            S1 = -    ò    2sin 3 t × 96cos 2 t sin t dt =
                      p6
        p6                                   p6                                       p6
                  4           2                                   2    2                   sin 2 2t 1 - cos 2t
=192    ò    sin t × cos t dt = 192          ò    (sin t × cos t ) sin t dt = 192     ò       4
                                                                                                   ×
                                                                                                         2
                                                                                                               dt =
        0                                    0                                        0
       p6                                                   p6                        p6
                  2                2                             1 - cos 4t
= 24    ò    (sin 2t - sin 2t × cos 2t ) dt = 24            ò               dt - 12   ò    sin 2 2t d (sin 2t ) =
                                                                      2
        0                                                   0                         0
        p6                  p6
                    1               sin 3 2t p 6     p       2p         p
= 12t         - 12 × sin 4t    - 12              = 12 - 3sin    - 4sin 3 =
            0       4       0          3      0      6        3         3

                           3    3 3        3 3 3 3
        = 2p - 3             -4     = 2p -    -    = 2p - 3 3.
                          2      8          2   2
Следовательно, S = 4p - 6 3 » 2,17.

       П р и м е р 3 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
r = 1 + 2 cos j .
        Р е ш е н и е . Найдём пределы интегрирования из условия r(j) ³ 0.
                                        1      3p     3p
Следовательно, 1 + 2 cos j ³ 0, cos j ³ -  , -    £j£    .
                                         2      4      4
Но так как фигура расположена симметрично относительно полярной оси в
силу чётности функции cosj , достаточно вычислить половину её площади
S1 :
            3p                                   3p
             4                                    4
        1                                    1
S1 =        ò (1 +        2 cos j) 2 d j =       ò (1 + 2    2 cos j + 2cos 2 j) d j =
        4                                    4
            0                                    0
                                  3p   3p
                                   4    4
 1                 1 (1 + cos 2j)                                     1 æ 3p          3p ö
= (j + 2 2 sin j) + ò             dj =                                  ç    + 2 2 sin ÷ +
 4               0 2       2                                          4è 4             4 ø
                     0

                              3p
 1æ    1           1 æ 3p   ö 4  2 3p 1  3p ö 1 æ 3p    1ö
+ ç j + sin 2j ÷ = ç      +2 2×   + + sin ÷ = ç      +2- ÷=
 4è    2       ø 0 4è 4         2   4 2   2 ø 4è 2      2ø




                                                            84

Страницы