Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 82 стр.

 ÏÃÓ                                                           Êàô ÂèÏÌ
         Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

        На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне-
                                                  ¥
                                                      1
ние, обычно используют интеграл вида              ò x p dx , который сходится при        p >1
                                                  a
и расходится при p £ 1 .
                                                                    +¥
                                                                         x +1
       П р и м е р . Исследовать на сходимость интеграл             ò         3
                                                                                  dx .
                                                                    1     x
                                 æ 1ö
                               x ç1 + ÷                           +¥
                      x +1       è    xø     1                         1
При x ® +¥ имеем             =           ~     . Так как интеграл ò      dx
                          3         32      12                        12
                        x         x        x                       1 x
расходится ( p = 1 2 < 1) , то и заданный интеграл также расходится.
        Признаки сходимости несобственных интегралов от неограничен-
ных функций аналогичны признакам сходимости 1–3.

                    2.2 Вычисление площадей плоских фигур

       1. Если заданная фигура ограничена графиками функций у = f1 ( x ) ,
у = f 2 ( x ) и прямыми x = a , x = b , причём f1 ( x) £ f 2 ( x) при всех x Î [a, b] ,
                                  b
то площадь фигуры равна S = ò ( f 2 ( x) - f1 ( x ))dx .
                                  a
      2. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметри-
ческими уравнениями x = j(t ), y = y (t ) , то площадь криволинейной трапеции
           b
       S = ò y (t ) × j¢(t )dt , где a и b определяются из уравнений j(a)=а, j(b)=b.
           a
     3. Если фигура ограничена линией, заданной уравнением в полярной
системе координат r = r(j) и двумя лучами j = j1 и j = j2 , то её площадь
выражается интегралом
                                             j2
                                         1                2
                                      S=
                                         2   ò (r(j))         dj.
                                             j1
       П р и м е р 1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
                                  1
                 y = 3 x -1 и y = x + 2 .
                                  2




                                             82