Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
83
у
х
32
3
123
Решение. Находим точки пе-
ресечения данных кривых:
1
312
2
xx
-=+
. Возводим обе части
уравнения в квадрат, получаем квадрат-
ное уравнение и находим его корни:
22
11
9( 1) 2 4, 7 13 0, 49 13 36,
44
xxxxxD-= + + - += =-=
1,2 12
76
2(7 6), 2, 26.
1
2
4
x xx
±
==± ==
×
Строим фигуру и вычисляем её площадь.
26
(3 1 0,5 2)S
х х dx
= ---=
ò
=
322
26 26
22
(1)2
3 0,5
32
хх-×
--
26
2
2х
=
2×125 – 2 – 169 + 1– 52 + 4=32.
Пример2
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, задан-
ной параметрическими уравнениями
3
3
32cos;
2sin;
123,( 123).
хt
yt
хх
ì
=
ï
ï
=
í
ï
=³
ï
î
Решение.
Здесь
33
() 32cos , () 2sin
t ttt
j= y= . Строим фигуру и вычисля-
ем площадь заштрихованной части, для чего находим пределы интегрирования
из уравнения
33
333
32cos 12 3, cos , cos ,
8 26
t t tt
p
= = = =±
,
33
32cos 32, cos 1, cos 1, 0
t t tt
= = ==
. Так как область симметрична относи-
тельно оси Ох , находим площадь только верхней её части
1
S
, тогда вся
площадь фигуры будет равна
1
2
SS
=
.
Находим производную
2
( ) 96cos sin
t tt
¢
j =- и вычисля-
ем
1
S
:
õ
ó
2 26
3
15
у=0,5х+2
у=3
1
х
-
 ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
           Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

        Р е ш е н и е . Находим точки пе-            ó
ресечения данных кривых:                         15
            1                                     у=3 х - 1
3 x - 1 = x + 2 . Возводим обе части
            2
уравнения в квадрат, получаем квадрат-                            у=0,5х+2
ное уравнение и находим его корни:                3
            1 2              1 2                                                          õ
9( x - 1) = x + 2 x + 4,       x - 7 x + 13 = 0, D =2 49 - 13 = 36,                  26
            4                4

     7±6
x1,2 =    = 2(7 ± 6), x1 = 2, x2 = 26.
        1
     2×
        4
Строим фигуру и вычисляем её площадь.
              26
         S=   ò (3   х - 1 - 0,5 х - 2) dx =
              2

            ( х - 1)3 2 × 2 26       х 2 26     26
         =3                    - 0,5        - 2х = 2×125 – 2 – 169 + 1– 52 + 4=32.
                   3         2        2 2        2


     П р и м е р 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, задан-
                                     ì х = 32cos3 t ;
                                     ï
                                     ï
ной параметрическими уравнениями í y = 2sin 3 t ;
                                     ï
                                     ïî х = 12 3, ( х ³ 12 3).

      Р е ш е н и е . Здесь j(t ) = 32cos3 t , y (t ) = 2sin 3 t . Строим фигуру и вычисля-
ем площадь заштрихованной части, для чего находим пределы интегрирования
                                                3 3                 3      p
из уравнения         32cos3 t = 12 3, cos3 t =         , cos t =      , t=± ,
                                                  8                2       6
32cos3 t = 32, cos3 t = 1, cos t = 1, t = 0 . Так как область симметрична относи-
тельно оси Ох , находим площадь только верхней её части S1 , тогда вся
площадь фигуры будет равна                                у
S = 2 S1 .
                                                           3
         Находим производную
j¢(t ) = -96cos 2 t sin t и вычисля-                              12 3
                                                                                32
ем S1 :                                                                               х




                                               83

Страницы