Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
81
3)
2
2
6
0
64
x dx
x
-
ò
(=)
При
2
x
=
знаменатель подынтегральной функции равен нулю, сле-
довательно, в этой точке функция имеет разрыв II рода. Поэтому заданный
интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции.
(=)
222
222
6 32 32
000
000
13
lim lim lim
3
x dx x dx x dx
xxx
-e -e -e
e® e® e®
===
---
òòò
=
2
333
2
32
0 0 00
0
1 () 1 1 (2)
lim lim arcsin lim arcsin 0
3 38 38
64()
dxx
x
-e
-e
e® e® e®
æö
-e
= = -=
ç÷
ç÷
-
èø
ò
=
3
1 21
arcsin arcsin1
3 83
==
6
p
, т.е. интеграл сходится.
П р и з н а к и с х о д и м о с т и н е с о б с т в е н н ы х
и н т е г р а л о в.
1. Пусть для всех
xa
³
справедливо неравенство
0 () ()
f x gx
££
.
Тогда: если интеграл
()
a
g x dx
¥
ò
сходится, то сходится и интеграл
()
a
f x dx
¥
ò
;
если интеграл
()
a
f x dx
¥
ò
расходится, то расходится и
()
a
g x dx
¥
ò
.
2. Пусть
()
lim
()
x
fx
A
gx
®¥
=
, где А – конечное число
¹
0, то интегралы и
()
a
g x dx
¥
ò
сходятся или расходятся одновременно.
3. Если сходится
()
a
f x dx
¥
ò
, то сходится и
()
a
f x dx
¥
ò
(последний инте-
грал называется в этом случае абсолютно сходящимся).
 ÏÃÓ                                                              Êàô ÂèÏÌ
            Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

            2
                  x 2 dx
       3)   ò              6
                               (=)
           64 - x
            0
       При x = 2 знаменатель подынтегральной функции равен нулю, сле-
довательно, в этой точке функция имеет разрыв II рода. Поэтому заданный
интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции.
           2 -e                              2 -e                        2 -e
                   x 2 dx                             x 2 dx           1         3x 2 dx
(=) lim     ò                   = lim         ò                  = lim   ò                    =
    e® 0
            0     64 - x    6       e® 0
                                              0     64 - ( x3 ) 2 e® 0 3 0              3 2
                                                                                64 - ( x )
           2 -e
      1             d ( x3 )        1      x3 2 -e      1æ        (2 - e)3    ö
= lim
 e® 0 3
            ò                 = lim arcsin         = lim ç arcsin
                                           8 0 e®0 3 çè
                                                                           - 0÷ =
                                                                              ÷
            0     64 - ( x3 )2 e® 0 3                                8        ø
 1       23 1         p
= arcsin   = arcsin1 = , т.е. интеграл сходится.
 3       8 3          6

                       Признаки сходимости несобственных
                                   и н т е г р а л о в.

       1. Пусть для всех x ³ a справедливо неравенство 0 £ f ( x ) £ g ( x) .
                                     ¥                                                        ¥
Тогда: если интеграл                 ò g ( x)dx сходится, то сходится и интеграл ò f ( x)dx ;
                                     a                                                        a
                                ¥                                                   ¥
       если интеграл            ò f ( x)dx расходится, то расходится и ò g ( x)dx .
                                a                                                   a
                           f ( x)
       2. Пусть lim               = A , где А – конечное число ¹ 0, то интегралы                       и
                      x ®¥ g ( x)
¥
ò g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно.
a
                                         ¥                               ¥
       3. Если сходится                  ò   f ( x) dx , то сходится и   ò f ( x)dx (последний инте-
                                         a                               a
грал называется в этом случае абсолютно сходящимся).




                                                           81

Страницы