Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
79
Пример 2.
22
83
32
1,1
111
2,
2
1
11
32
83
x t xt
xt
dx tdt
dx tdt
t
x
xt
xt
+= =-
+++
=
= ==
-
+-
=Þ=
=Þ=
òò
=
33 33
222
22 22
11 11
22 22
1 1 11
tttttt
dt dt dt dt
t t tt
+ -++ -+
= = +=
- - --
òò òò
=
3 3 3 33
2 2 2 22
(1)(1)121
2 2 2(1)24
1 1 11
t t t t dt
dt dt t dt dt
t t tt
-+-+-
- - --
ò ò ò òò
=
3
2
33
22
2
94
2 2 4ln 1 2 3 2 2 4ln 2 4ln1
2 22
t
t dtt
æö
æö
++ + -= +--++ - =
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
ò
=
9 4ln2 9 4 0,693 11,77
+ =+× =
.
Пример 3.
ln3 3 33
0
22
0 1 11
,
01
( 4)
4 4 (2)4
ln33
xx
x
e t dt e dx
dx dt dt dt
x te
tt
e ttt
xt
==
==Þ======
+
+ + +-
= Þ=
ò òòò
33
11
1 2 2 1 1 3 1 1 15
ln ln ln ln ln 0,19
4 22 4 4 4 7 5 47
tt
tt
+-
æö
= = =-=»
ç÷
+++
èø
.
2.1 Несобственные интегралы
1. Несобственным интегралом по бесконечному промежутку
()
a
f x dx
¥
ò
называется
lim ()
b
b
a
f x dx
®¥
ò
, если этот предел существует и конечен.
Таким образом,
()
a
f x dx
¥
ò
=
lim ()
b
b
a
f x dx
®¥
ò
.
Аналогично определяются интегралы
()
b
f x dx
-¥
ò
и
()
f x dx
+¥
-¥
ò
.
 ÏÃÓ                                                              Êàô ÂèÏÌ
            Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.


                                                       x + 1 = t2, x = t2 -1
                            8                                                             3
                    x +1 +1                            dx = 2tdt ,                            t +1
        Пример 2. ò           dx =                                                    =ò           2tdt =
                    x + 1 - 1      x = 3Þt = 2                                                t -1
                  3                                                                       2
                                   x = 8Þt = 3
    3 2               3                        3                3
     t +t           t2 -1 + t + 1          t2 -1          t +1
= 2ò       dt = 2 ò               dt = 2 ò       dt + 2 ò      dt =
      t -1              t -1                t -1          t -1
    2                 2                        2                2
    3                       3                      3                    3                 3
     (t - 1)(t + 1)          t -1+ 2                         t -1          dt
= 2ò                dt + 2 ò         dt = 2 ò (t + 1)dt + 2ò      dt + 4ò      =
         t -1                  t -1                          t -1         t -1
    2                       2                      2                    2                 2
    æ t2   ö3 3                    3  æ9    4    ö
= 2 ç + t ÷ + 2 ò dt + 4ln t - 1 = 2 ç + 3 - - 2 ÷ + 2 + 4ln 2 - 4ln1 =
    ç2     ÷2                      2  è2    2    ø
    è      ø      2
= 9 + 4ln 2 = 9 + 4 × 0,693 = 11,77 .

        Пример 3.
                          e x = t , dt = e x dx
          ln 3                                         3                3                 3
                 dx                        0     dt            dt            dt
           ò e x + 4 = x = 0 Þ t = e = 1 = ò t (t + 4) = ò t 2 + 4t = ò (t + 2)2 - 4 =
           0           x = ln 3 Þ t = 3    1             1            1


 1 t +2-2 3 1      t 3 1æ 3        1 ö 1 15
= ln          = ln      = ç ln - ln ÷ = ln » 0,19 .
 4 t + 2 + 2 1 4 t + 4 1 4è 7      5ø 4 7


                        2.1 Несобственные интегралы
        1. Несобственным интегралом по бесконечному промежутку
¥                                      b
ò f ( x)dx называется           lim
                                b ®¥
                                       ò f ( x)dx , если этот предел существует и конечен.
a                                      a
Таким образом,
                                           ¥                    b
                                           ò f ( x)dx = blim
                                                          ®¥
                                                             ò f ( x)dx .
                                           a                    a
                                                                    b                     +¥
           Аналогично определяются интегралы                        ò       f ( x )dx и   ò    f ( x )dx .
                                                                -¥                        -¥




                                                        79

Страницы