Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 77 стр.

 ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
           Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

     2) Если R (- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x ) , то для приведения интеграла к
рациональному виду можно применить подстановку tg x = t , тогда
                                   t                              1                  dt
                       sin x =              , cos x =                     , dx =              .
                                 1+ t   2
                                                              1+ t    2            1 + t2
       Пример 2.
                                  dt
               dx         1 + t 2              dt (1 + t 2 )              dt
     ò 1 + 3sin 2 x = ò        t2
                                     =ò
                                        (1 + t 2 )(1 + t 2 + 3t 2 )
                                                                    =ò
                                                                       1 + 4t 2
                                                                                =
                        1+ 3
                             1 + t2
 1 d (2t )      1                  1
= ò           = arctg2t + C = arctg(2 tg x ) + C .
 2 1 + (2t )2 2                    2
       Но можно обойтись и без подстановки.
       Пример 3.
                        dx                                 dx
        ò sin 2 x + 3sin x cos x - cos2 x ò cos 2 x × (tg 2 x + 3tg x - 1) =
                                         =

                    d (tg x )                   dt                         dt
       =ò                          =ò                    =ò                               =
            (tg 2 x + 3tg x - 1)        t 2 + 3t - 1           (t + 3 2) 2 - 13 4
            1    t + 3 2 - 13 2   1    2 tg x + 3 - 13
       =      ln                =   ln                 +C.
            13 t + 3 2 + 13 2     13 2 tg x + 3 + 13

                                       2. Определённый интеграл

      Пусть на отрезке [a, b] определена функция f ( x) . Разобьём отрезок [a,
b] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . На каждом интервале
                                                                                                   n
( xi -1 , xi ) возьмём произвольную точку xi и составим сумму                                     å f (xi )Dxi , где
                                                                                                  i =1
                                            n
Dxi = xi - xi -1 . Сумма, вида           å f (xi )Dxi             называется интегральной суммой, а
                                         i =1
её предел при max Dxi ® 0 , если он существует и конечен, называется опре-
делённым интегралом от функции f ( x) в пределах от a до b и обозначается
                            b                                 n
                            ò f ( x)dx = maxlim
                                             Dx ® 0
                                                    å f (xi )Dxi .
                            a                        i    i =1



                                                         77