Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
75
(=)
2
2 11
ln 2 3 arctg .
2
22
x
ххC
x
+
-+++-+
+
1.5 Интегрирование тригонометрических функций.
И н т е г р а л ы в и д а sin cos
mn
x x dx
ò
.
1) Если m = 2к+1 – нечётное положительное число, то полагают
sin cos
mn
x x dx
ò
=
2
sin cos (cos )
kn
x xdx
-=
ò
=
2
(1 cos ) cos (cos ) cos
kn
- - = ==
ò
2
(1)
kn
t t dt
--
ò
, т.е. инте-
грал сводится к интегрированию степенной функции относительно
cos
x
.
Аналогично поступают, если n – нечётное положительное число.
Пример 1
.
5
4
cos sin
x x dx
×=
ò
=
4 22
44
cos sin (cos ) cos (sin ) (cos )
x xdx x xdx
-×=-=
òò
=
2 2 14 22
4
cos (1 cos ) (cos ) cos (1 )
x x d x x t t t dt
- - ===--=
òò
=
5 4 13 4 21 4
14 94 174
4 44
(2)2
5 13 21
t tt
tttdtC
- - + =- + - +=
ò
=
4
5424 5 24
242 242
2 2 cos cos cos
5 13 21 5 13 21
t t t x x xC
æöæö
--+=- -++
ç÷ç÷
èøèø
.
Пример 2.
3
ctg2
x dx
=
ò
=
322
333
cos2 1 cos 2 (sin2) 1 (1 sin 2) (sin2)
22
sin2 sin2 sin2
x xdx xdx
dx
xxx
-
===
òòò
=
22
3 332
1(1 ) 1 1 11
sin2
2222
4
t dt dt t dt dt
xt
t
t t tt
-
== =- =--=
òòòò
=
2
11
ln
2
4
tC
t
--+
=
2
11
ln sin2
2
4sin2
xC
x
--+
.
 ÏÃÓ                                                            Êàô ÂèÏÌ
          Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

                2                       1        x +1
       (=) -       + ln х 2 + 2 х + 3 -    arctg      + C.
               x+2                       2         2

                  1.5 Интегрирование тригонометрических функций.

                                                                   m
                                Интегралы вида             ò sin       x cos n x dx .


        1) Если m = 2к+1 – нечётное положительное число, то полагают
              m        n                        2k    n
        ò sin x cos x dx = - ò sin x cos x d (cos x) =
        = - ò (1 - cos2 x )k cosn x d (cos x) = cos x = t = - ò (1 - t 2 )k t n dt      , т.е. инте-
грал сводится к интегрированию степенной функции относительно cos x .
      Аналогично поступают, если n – нечётное положительное число.

                                4 cos x × sin5 x dx =
       Пример 1.            ò
= - ò 4 cos x × sin 4 x d (cos x) = - ò 4 cos x (sin 2 x) 2 d (cos x) =

= - ò 4 cos x (1 - cos2 x)2 d (cos x) = cos x = t = - ò t1 4 (1 - t 2 ) 2 dt =

       14         94          4t 5 4
                           17 4         4t13 4 4t 21 4
= - ò (t - 2t    +t   )dt = -        +2       -        +C=
                                 5        13     21
          æ2 4      2 ö        4        æ2 4            2  ö
= -2t 5 4 ç - t 2 + t 4 ÷ = -2 cos5 x ç - cos 2 x + cos4 x ÷ + C .
          è 5 13    21 ø                è 5 13         21  ø

                                        3
       Пример 2.                ò ctg       2x dx =

   cos3 2 x      1 cos 2 2 x d (sin 2 x ) 1 (1 - sin 2 2 x) d (sin 2 x)
=ò           dx = ò                      = ò                            =
   sin 3 2 x     2       sin 3 2 x        2          sin 3 2 x
             1 (1 - t 2 )dt 1 dt 1 t 2 dt           1    1 dt
             2ò                 ò   3 2ò 3            2 2ò t
= sin 2 x = t =            =         -         = -     -      =
                     3       2
                   t              t       t        4t
    1   1                  1         1
=-     - ln t + C = -              - ln sin 2 x + C .
   4t 2 2              4sin 2 2 x 2




                                                      75

Страницы