Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
76
2) Если m и n – чётные положительные числа, то подынтегральное
выражение преобразуют с помощью формул
22
111
sin (1 cos2 ), cos (1 cos2 ), sin cos sin2 .
222
x xx xxxx
=- =+ × =
Пример 3.
24
cos3 sin3
x x dx
×=
ò
22
(cos3 sin3 ) sin 3
x x x dx
=×=
ò
2
sin 6 1 cos6
42
xx
-
×=
ò
22
1
(sin 6 sin 6 cos6 )
8
x x x dx
= -×=
ò
2
1 1 cos12 1
sin 6 (sin 6 )
8 2 48
x
dx xdx
-
-=
òò
3
1 1 1 sin6
cos12
16 16 48 3
x
dx x dx
=- -×=
òò
3
sin12 sin 6
16 192 144
xxx
C
--+
.
3) Если m и n – чётные числа, но одно из них отрицательное, то инте-
грал сводится к интегралу от рациональной функции относительно
tg
x
или
ctg
x
.
Пример 4
.
23
4 22
11
(1 tg ) (tg ) tg tg
3
cos cos cos
dx dx
xd x x xC
x xx
= ×=+ =++
òòò
.
И н т е г р а л ы в и д а
(sin,cos)
R x x dx
ò
.
1) С помощью подстановки
tg
2
x
t
=
, откуда
2
2 22
212
sin,cos,
1 11
t t dt
x x dx
t tt
-
= ==
+ ++
интеграл приводится к интегралу от рациональной функции относительно
переменной t.
Пример 1.
22
2 22
222
22
11
cos2sin3
1 2 1 4 33
23
111
dt dt
dx
tt
xx
t t ttt
ttt
++
===
++
- - + ++
++
+++
òòò
=
222
2
arctg( 1)
2 44 22 (1)1
dt dt dt
tC
tt tt t
===++=
++ ++ + +
ò òò
=
arctgtg1
2
x
C
æö
++
ç÷
èø
.
 ÏÃÓ                                                           Êàô ÂèÏÌ
         Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

       2) Если m и n – чётные положительные числа, то подынтегральное
выражение преобразуют с помощью формул
          1                      1                              1
sin 2 x = (1 - cos 2 x), cos2 x = (1 + cos 2 x), sin x × cos x = sin 2 x.
          2                      2                              2
                                 2
       Пример 3.         ò cos       3 x × sin 4 3x dx =

                    2      2           sin 2 6 x 1 - cos6 x
= ò (cos3 x × sin 3 x) sin 3 x dx = ò           ×           dx =
                                          4           2
  1                                       1 1 - cos12 x        1
= ò (sin 2 6 x - sin 2 6 x × cos6 x )dx = ò              dx - ò sin 2 6 x d (sin 6 x) =
  8                                       8        2           48
   1          1            1 sin 3 6 x x sin12 x sin 3 6 x
= ò dx - ò cos12 x dx - ×             =    -       -       +C.
  16         16           48    3       16   192      144
        3) Если m и n – чётные числа, но одно из них отрицательное, то инте-
грал сводится к интегралу от рациональной функции относительно tg x или
ctg x .
       Пример 4.
           dx        1      dx             2                        1 3
       ò cos 4 x ò cos2 x cos2 x ò
                =        ×      =  (1 + tg   x ) d (tg x ) = tg x +
                                                                    3
                                                                      tg x + C .


                           Интегралы вида                           ò R(sin x, cos x) dx .
                                  x
       1) С помощью подстановки tg = t , откуда
                                  2
                                      2t                   1 - t2              2dt
                        sin x =            , cos x =                , dx =
                             1 + t2             1 + t2          1 + t2
интеграл приводится к интегралу от рациональной функции относительно
переменной t.
      Пример 1.
                                        2dt                         2dt
                 dx                    1 + t2                      1 + t2
       ò cos x + 2sin x + 3 ò 1 - t 2
                            =
                                             2t
                                                       = ò      2
                                                           1 - t + 4t + 3 + 3t 2
                                                                                 =
                                       +2         +3
                               1 + t2     1 + t2                   1 + t2
        2dt              dt              dt
=ò               =ò              =ò               = arctg(t + 1) + C =
     2               2                     2
   2t + 4t + 4      t + 2t + 2      (t + 1) + 1
        æ x      ö
= arctg ç tg + 1 ÷ + C .
        è 2 ø

                                                     76

Страницы