Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
74
=
2 2 22
22
( 2)( 2 3) ( 2 3) ( 2) ( 2)
( 2) ( 2 3)
Aх хх Вхх Mxx Nx
x хх
+ +++ +++ +++
+ ++
Приравняем числители исходной и полученной дробей
32 22
2 11 16 10 ( 2)( 2 3) ( 2 3)
х х х Aххх Вхх
+ + += + +++ +++
+
22
( 2) ( 2)
Mxx Nx+++.
при
2
х
получим
63
B
=
, отсюда следует, что В =2.
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов А, М и N
применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем ко-
эффициенты при
3
x
,
2
x
,
0
x
слева и справа от знака равенства
3
2
0
2;
11 4 4 4 4 9;
10 6 3 4 6 4 4.
х АM
x AB MN A MN
х АВN АN
=+
=+++Þ++=
=++Þ+=
Решая систему уравнений
2,
4( ) 9,
644
AM
AMN
AN
+=
ì
ï
+ +=
í
ï
+=
î
найдём
1, 0, 2.
NAM
===
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
может быть представлена в виде
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
xxх
+ ++
+ ++
=
22
2 21
(2) 23
x
x xx
+
+
+ ++
и, следовательно,
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
dx
xxх
+ ++
+ ++
ò
=
22
2 21
(2) 23
x
dx dx
x xx
+
+
+ ++
òò
(=)
2
22
2
( 2)
dx
х
x
=-
+
+
ò
;
22
22
2
23(1)2
2 1 2 21
23 23
(2 2) ( 2 3)
ххх
xx
dx dx
xx xx
xdxdxx
++=++
+ +-
= ==
++ ++
+ = ++
òò
2
2 22
(2 2) ( 2 3) 1 ( 1)
arctg
22
23(1)2 23
xdxdxdxxx
xx x xx
+ +++
=-= -=
++ + + ++
òòò
=
2
1 ( 1)
ln 2 3 arctg
22
x
ххC
+
++-+
;
    ÏÃÓ                                                           Êàô ÂèÏÌ
            Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

    A( х + 2)( х 2 + 2 х + 3) + В( х 2 + 2 х + 3) + Mx( x + 2) 2 + N ( x + 2) 2
=
                    ( x + 2)2 ( х 2 + 2 х + 3)
Приравняем числители исходной и полученной дробей
          2 х3 + 11х 2 + 16 х + 10 = A( х + 2)( х 2 + 2 х + 3) + В ( х 2 + 2 х + 3) +
                                                  + Mx( x + 2)2 + N ( x + 2) 2 .
при х = -2 получим 6 = 3B , отсюда следует, что В =2.
      Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов А, М и N
применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем ко-
эффициенты при x3 , x 2 , x 0 слева и справа от знака равенства
                           х3 2 = А + M ;
                           x 2 11 = 4 A + B + 4 M + N Þ 4 A + 4 M + N = 9;
                           х 0 10 = 6 А + 3В + 4 N Þ 6 А + 4 N = 4.
                        ì A + M = 2,
                        ï
Решая систему уравнений í 4( A + M ) + N = 9, найдём N = 1,                                        A = 0, M = 2.
                        ï6 A + 4 N = 4
                        î
     Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
может быть представлена в виде
                              2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10                  2                 2x + 1
                                                                =                 +
                              ( x + 2)2 ( x 2 + 2 х + 3)            ( x + 2)2         x2 + 2x + 3
и, следовательно,
           2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10                    2                          2x + 1
          ò ( x + 2)2 ( x2 + 2 х + 3)    dx = ò
                                                  ( x + 2)      2
                                                                    dx + ò
                                                                              2
                                                                             x + 2x + 3
                                                                                              dx (=)

      2                  2
ò ( x + 2) 2   dx = -
                        х+2
                            ;

      2x + 1              х 2 + 2 х + 3 = ( х + 1)2 + 2                       2x + 2 - 1
ò x2 + 2x + 3     dx =
                                                  2
                                                                       =ò
                                                                              2
                                                                             x + 2x + 3
                                                                                               dx =
                         (2 x + 2)dx = d ( x + 2 x + 3)
               (2 x + 2) dx             dx                 d ( x 2 + 2 x + 3)             1        ( x + 1)
          =ò                  -ò                      =ò                              -      arctg          =
               x2 + 2 x + 3        ( x + 1) 2 + 2               x2 + 2x + 3                2           2
                               1        ( x + 1)
          = ln х 2 + 2 х + 3 -    arctg          +C;
                                2           2



                                                           74

Страницы