Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
72
22
22
222
2 ( 1)1
ln( 1) 2 ln( 1) 2
111
xdxxx
x x x dx x x dx
xxx
+-
- × = +- = +- =
+++
òòò
=
2
22
22
1
ln(1)2 2 ln(1)22arctg
11
x dx
x x dx x x x xC
xx
+
+- + = +- + +
++
òò
.
1.4 Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональной функции после выделения целой части
сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
()
,
()
Px
Px Qx
Qx
- многочлены, причём степень числителя ниже степени
знаменателя. Знаменатель правильной дроби может быть разложен на мно-
жители и представлен в виде
11
22
1 11
( ) ( ) ...( ) ( ) ...( )
s
r
l
kkl
n r ss
Qx axx xx x pxq x pxq= - - ++ ++ ,
где
1
,...
r
xx
- действительные корни (простые или кратные), а каждый квадрат-
ный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант, т.е.
2
40
Dpq
= -<
.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь
()
()
Px
Qx
, знамена-
тель которой разложен на множители
121
22
1 2 11
( ) ( ) ( ) ...( ) ...( )
s
l
kkl
n ss
Qx axx xx x pxq x pxq= - - ++ ++ ,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей
суммы простейших дробей:
12
12
11
1
12 12
22
12
12
12
11 22
2 22
2
11 11 11
11 22
2 22
2
()
... ... ...
()
() ()() ()
... ... ...
()
()
... ...
()
(
ss
kk
kk
ll
l
ll
ss ss
AB
AA BB
Px
Qx xx xx
xx xxxx xx
CxD
CxD CxD
x pxq x pxq
x pxq
MxN
MxN MxN
x pxq x pxq
x
= + ++ + + ++ +
--
----
+
++
+++++
++ ++
++
+
++
+ + ++
++ ++
,
)
s
l
ss
pxq++
где
12 12 11 11
, ..., , ..., , ..., , ...
AA BB CD M N
- некоторые действительные коэффи-
циенты.
Пример 1
.
32
3
3 9 102
( 1)( 1)
xxx
dx
xx
+++
-+
ò
 ÏÃÓ                                                               Êàô ÂèÏÌ
             Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.


         2 xdx                   2                x2                         2           ( x 2 + 1) - 1
-ò x ×            = x ln( x + 1) - 2ò                      dx = x ln( x + 1) - 2ò                         dx =
         2                                        2                                          2
         x +1                                 x +1                                          x +1

         2         x2 + 1                             dx                 2
= x ln( x + 1) - 2
                    2      òx
                          dx + 2
                                  +1
                                              ò x2 + 1 =x ln( x              + 1) - 2 x + 2arctg x + C .


                            1.4 Интегрирование рациональных функций.

        Интегрирование рациональной функции после выделения целой части
сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
 P( x)
       , где P ( x) и Q ( x) - многочлены, причём степень числителя ниже степени
Q ( x)
знаменателя. Знаменатель правильной дроби может быть разложен на мно-
жители и представлен в виде
        Q( x) = an ( x - x1 ) k1 ...( x - xr ) kr ( x 2 + p1x + q1 )l1 ...( x 2 + ps x + qs )ls ,
где x1 ,... xr - действительные корни (простые или кратные), а каждый квадрат-
ный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант, т.е. D = p 2 - 4q < 0 .
                                                        P ( x)
      Теорема. Всякую правильную рациональную дробь            , знамена-
                                                        Q ( x)
тель которой разложен на множители
       Q( x) = an ( x - x1 ) k1 ( x - x2 ) k2 ...( x 2 + p1x + q1 )l1 ...( x 2 + ps x + qs )ls ,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей
суммы простейших дробей:
 P( x)    A1           A2                    Ak1           B1             B2                  Bk2
       =        +               + ... +                +         +                + ... +              + ...
Q ( x) x - x1 ( x - x1 )2               ( x - x1 )k1 x - x2 ( x - x2 )2                   ( x - x2 )k2
                    C1 x + D1                     C2 x + D2                          Cl1 x + Dl1
          ... +                         +                                + ... +                        + ...
                   2                          2                      2              2              l1
                  x + p1 x + q1             ( x + p1 x + q1 )  ( x + p1 x + q1 )
                 M1 x + N1               M 2 x + N2                  M ls x + N ls
       ... +                      +                     + ... +                       ,
               2                       2              2             2              ls
             x + ps x + qs ( x + ps x + qs )                     ( x + ps x + qs )
где A1 , A2 ..., B1 , B2 ..., C1 , D1..., M1, N1... - некоторые действительные коэффи-
циенты.

                           3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
Пример 1.              ò        ( x - 1)( x + 1)3
                                                           dx




                                                                72

Страницы