Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 70 стр.

    ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
              Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

              Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е п о д с т а н о в к и.
    Пусть а >0, тогда:
1) Если интеграл содержит                         a 2 - x 2 , то полагают x = a sin t , тогда
      a 2 - x 2 = a cos t , dx = a cos t dt .
                                                                                            a
2) Если интеграл содержит                         x 2 - a 2 , то полагают x =                    , тогда
                                                                                           cos t
                                              a sin t
      x 2 - a 2 = a tg t , dx =                         dt .
                                              cos2 t
3) Если интеграл содержит x 2 + a 2 , то полагают x = a tg t , тогда
                a             a
    x2 + a 2 =       , dx =       dt .
               cos t           2
                            cos t

Пример 2.
                                                                         2            2dt
                          a = 2, x = 2 tg t ,             x2 + 4 =            , dx =        ,
     x2 + 4                                                             cos t        cos2 t
ò     x   2
                  dx =
                                x                          2                                     x
                                                                                                           =
                          tg t = , cos t =                         , sin t = tg t × cos t =
                                2                         2
                                                         x +4                                   x2 + 4
              2              2dt                  dt                 sin 2 t + cos 2 t
=ò                       ×               =ò                     =ò                       dt =
                    2               2                      2                     2
   cos t × 4 tg t cos t       cos t × sin t     cos t × sin t
    dt         cos t                  1      d (sin t )              1        1
=ò       +ò          dt = ln tg t +       +ò            = ln tg t +       -       =.
   cos t         2                  cos t         2                 cos t   sin t
              sin t                           sin t
     x + x2 + 4                         x2 + 4
= ln            -                              +C.
         2                                x


                                          1.3 Интегрирование по частям

      Если u = j( x ) и v = y( x) - дифференцируемые функции, то имеет место
формула интегрирования по частям: ò udv = uv - ò vdu .
      В интегралах вида: ò P( x)e ax dx,                           ò P( x)sin ax dx, ò P( x)cos ax dx , где
P ( x ) – многочлен, полагают u = P ( x) .

                                                               u = x 2 + x, du = (2 x + 1)dx
                                2
Пример 1.                ò (x       + x) cos 2 xdx =                                            1
                                                               dv = cos 2 xdx, v = ò cos 2 xdx = sin 2 x
                                                                                                         =
                                                                                                2

                                                                  70