Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
69
2
13
3
xC
=- -+
.
Пример 2.
2
2
2 22
32
2 5 1 (3 2) 5 ( 3)
3
3
32 32 32
3
ux
х dx dx
dx dx
x xx
tx
=-
--
= - ==
- --
=
òòò
2
2
1 5 1 51 21
ln ln ln 3 2
333
3 3222
2
du dt t
u Cx
u
t
t
-
= - = - × += --
+
-
òò
5 32
ln
2632
x
C
x
-
+
.
Пример 3.
2 22
arcsin arcsin
arcsin (arcsin )
1 11
xx xx
dx dx dx x d x
x xx
+
=+=-
- --
ò òòò
22
2
2
arcsin
1(1) 11
2
2 2 22
1
1
ux
d x dtu
udut
t
tx
x
=
-
- = =- =-=
=-
-
ò òò
2
2
arcsin
1
2
x
xC
= --+
.
1.2 Интегрирование подстановкой.
Полагая
()
xt
=j
, где t- новая переменная и j - непрерывно дифференци-
руемая функция, то будем иметь
(
)
( ) () ()
f x dx f t t dt
¢
= jj
òò
.
Функцию
()
t
j
стараются выбирать таким образом, чтобы интеграл, стоящий
в правой части приобрёл более удобный для интегрирования вид.
Пример 1.
2 2 42
1,
1 тогда 1(1)22()
и2
tx
x x dx x t t t t dt t t dt
dx t dt
=-
-= =+=+×= +=
=
ò òò
53
533
22
2 2 2 2 2(3 2)
( 1) ( 1) ( 1)
5 3 5 3 15
x
ttCx x C xC
+
= + += - + - += - +
.
 ÏÃÓ                                                                Êàô ÂèÏÌ
              Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

  2
=-  1 - 3x + C .
  3
Пример 2.
    2х - 5     1 d (3 x 2 - 2) 5 d ( 3 x)      u = 3x2 - 2
ò 3x2 - 2 dx = 3 ò 3x 2 - 2 - 3 ò 3x2 - 2 dx = t = 3x      =

    1 du 5    dt   1       5   1    t- 2      1
=    ò  -  ò      = ln u -   ×   ln      + C = ln 3 x 2 - 2 -
    3 u   3 t2 - 2 3        3 2 2 t+ 2        3

         5         3x - 2
    -         ln          +C.
        2 6        3x + 2

Пример 3.
  arcsin x + x        arcsin x         x
ò          2
               dx = ò
                             2
                               dx + ò
                                           2
                                             dx = ò arcsin x d (arcsin x ) -
     1- x              1- x           1- x
     1 d (1 - x 2 )   u = arcsin x          1 dt u 2 1
    - ò             =           2
                                   = ò udu - ò   =   - 2 t=
     2    1- x  2     t = 1 - x             2  t   2  2

        arcsin 2 x
 =                 - 1 - x2 + C .
            2
                           1.2 Интегрирование подстановкой.

  Полагая x = j(t ) , где t- новая переменная и j - непрерывно дифференци-
руемая функция, то будем иметь
                              ò f ( x)dx = ò f ( j(t ) ) j¢(t ) dt .
Функцию j(t ) стараются выбирать таким образом, чтобы интеграл, стоящий
в правой части приобрёл более удобный для интегрирования вид.

Пример 1.
                     t = x -1,

òx       x - 1 dx = тогда x = t 2 + 1 = ò (t 2 + 1) t × 2t dt = 2ò (t 4 + t 2 )dt =
                    и dx = 2t dt
                                   5              3
 2     2         2            2                 2(3 x + 2)
= t 5 + t 3 + C = ( x - 1) 2 + ( x - 1) 2 + C =            ( x - 1)3 + C .
 5     3         5            3                    15



                                                   69

Страницы