Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
67
Неопределённый и определённый интегралы
1. Неопределённый интеграл
Функция
()
Fx
называется первообразной для функции
()
fx
, если
() ()
Fx fx
¢
=
. Всякая функция вида
Fx
+С, где С – произвольная постоян-
ная, также является первообразной для
()
fx
, т.к. (
Fx
+С)¢=
()
fx
. Сово-
купность всех первообразных для функции
()
fx
называется неопределён-
ным интегралом и записывается в виде
() ()
fxdxFxC
=+
ò
,
где
()
fx
– подынтегральная функция, С – произвольная постоянная.
Таблица неопределённых интегралов
1)
dxxC
=+
ò
; 2)
1
,1
1
n
n
x
xdx Cn
n
+
= + ¹-
+
ò
;
2а)
2
dx
xC
x
=+
ò
; 2б)
2
1dx
C
x
x
=-+
ò
;
3) ln
dx
xC
x
=+
ò
;
4)
, ( 0; 1)
ln
x
x
a
adx Caa
a
=+ >¹
ò
; 5)
xx
edxeC
=+
ò
;
6)
sin cos
xdx xC
=-+
ò
; 7)
cos sin
xdx xC
=+
ò
;
8)
2
ctg
sin
dx
xC
x
=-+
ò
; 9)
2
tg
cos
dx
xC
x
=+
ò
;
10)
22
1
arctg
dxx
C
aa
xa
=+
+
ò
;
11)
22
11
ln ln
22
dx xa xa
CC
axa axa
xa
-+
=+=-+
+-
-
ò
;
12)
22
arcsin
dxx
C
a
ax
=+
-
ò
;
13)
22
22
ln
dx
xxaC
xa
= + ±+
±
ò
;
14)
1
ln tg ln ctg
sin 2 sin
dxx
C xC
xx
= += -+
ò
;
15)
1
ln tg ln tg
cos 2 4 cos
dxx
C xC
xx
p
æö
= ++= ++
ç÷
èø
ò
.
 ÏÃÓ                                                          Êàô ÂèÏÌ
        Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

               Неопределённый и определённый интегралы

                              1. Неопределённый интеграл
        Функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) , если
F ¢( x) = f ( x) . Всякая функция вида F ( x) +С, где С – произвольная постоян-
ная, также является первообразной для f ( x) , т.к. ( F ( x) +С)¢= f ( x) . Сово-
купность всех первообразных для функции f ( x) называется неопределён-
ным интегралом и записывается в виде
                                 ò f ( x)dx = F ( x) + C ,
где f ( x) – подынтегральная функция, С – произвольная постоянная.

                              Таблица неопределённых интегралов
                                                     n     x n +1
          1)   ò dx = x + C ;                  2) ò x dx =        + C , n ¹ -1 ;
                                                           n +1
                 dx                                  dx     1
          2а) ò x =2 x +C;                     2б) ò    =- +C;
                                                     x2     x
               dx
          3) ò     = ln x + C ;
                x
                    x    ax
          4) ò a dx =        + C , (a > 0; a ¹ 1) ; 5) ò e x dx = e x + C ;
                        ln a
          6) ò sin x dx = - cos x + C ;             7) ò cos x dx = sin x + C ;
                    dx                                           dx
          8)   ò sin 2 x = - ctg x + C ;                 9)   ò cos2 x = tg x + C ;
                        dx 1       x
          10) ò x2 + a2 a=   arctg
                                   a
                                     +C;

                   dx       1    x-a           1  x+a
          11) ò          = ln          + C = - ln      +C;
                x 2 - a 2 2a x + a            2a x - a
                     dx              x
          12) ò            = arcsin + C ;
                   a2 - x2           a
                         dx
         13)    ò               = ln x + x 2 ± a 2 + C ;
                 x2 ± a 2
                dx           x          1
         14) ò       = ln tg + C = ln       - ctg x + C ;
               sin x         2        sin x
                dx           æ x pö             1
         15) ò       = ln tg ç + ÷ + C = ln         + tg x + C .
               cos x         è2 4ø            cos x


                                               67

Страницы