Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
68
Основные свойства неопределённого интеграла
1.
() () ()
f xdx dfx fx C
¢
= =+
òò
;
() ( () ) ()
d f x dx d F x C f x dx
= +=
ò
;
2.
(
)
12 12
() () () ()
f x f x dx f x dx f x dx
±=±
ò òò
;
3.
kf x dx k f x dx k==
òò
;
4. Если
() ()
fxdxFxC
=+
ò
и
()
ux
=j
, то
() ()
fuduFuC
=+
ò
.
В частности,
1
() ()
f ax b dx F ax b C
a
+ = ++
ò
.
Основные методы интегрирования функций.
1.1 Интегрирование путём подведения под знак дифференциала.
Свойство 4) значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А
именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой
независимо от того, является переменная интегрирования независимой пере-
менной или дифференцируемой функцией. Прежде, чем использовать тот
или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл к виду
(()) () ()
f x x dx f u du
¢
jj=
òò
,где
()
ux
=j
.
В связи с этим полезно отметить часто применяемые преобразования диффе-
ренциалов, а именно:
1)
1
()
dx daxb
a
=+
, а¹0; 2)
2
1
()
2
хdx dx
= ; 3)
2()
dx
d
х
х
=
;
4)
(ln)
dx
dx
x
= ; 5)
()
xx
edx de
= ;
6)
sin (cos)
xdxdx
=-
; 7)
cos (sin)
xdxdx
=
;
8)
2
(tg)
cos
dx
dx
x
= ; 9)
2
(ctg)
sin
dx
dx
x
=- ;
10)
2
(arcsin )
1
dx
dx
x
=
-
; 11)
2
(arctg )
1
dx
dx
x
=
+
.
Пример 1.
1(13) 11
132
3 33
13 13
dx d x du
u x uC
xxu
-
=- = = - =- =- + =
--
òòò
 ÏÃÓ                                                              Êàô ÂèÏÌ
            Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.


                      Основные свойства неопределённого интеграла

       1.   ò f ¢( x)dx = ò df ( x) = f ( x) + C ;    d ò f ( x )dx = d ( F ( x) + C ) = f ( x )dx ;

        2. ò ( f1 ( x) ± f 2 ( x) ) dx = ò f1 ( x)dx ± ò f2 ( x)dx ;
        3. ò kf ( x )dx = k ò f ( x)dx, k = const ;
        4. Если ò f ( x)dx = F ( x) + C и u = j( x ) , то ò f (u )du = F (u ) + C .
                                                     1
             В частности,       ò f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C .
                        Основные методы интегрирования функций.

        1.1 Интегрирование путём подведения под знак дифференциала.

  Свойство 4) значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А
именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой
независимо от того, является переменная интегрирования независимой пере-
менной или дифференцируемой функцией. Прежде, чем использовать тот
или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл к виду
            ò f (j( x)) j¢( x)dx = ò f (u )du , где u = j( x) .
В связи с этим полезно отметить часто применяемые преобразования диффе-
ренциалов, а именно:
                 1                              1                    dx
       1) dx = d (ax + b) , а¹0;      2) хdx = d ( x 2 ) ;      3)        = 2d ( х ) ;
                 a                              2                     х
          dx
       4)     = d (ln x) ;                    5) e x dx = d (e x ) ;
           x
       6) sin x dx = - d (cos x ) ;         7) cos x dx = d (sin x) ;
             dx                                     dx
       8)           = d (tg x) ;             9)           = - d (ctg x ) ;
               2                                     2
          cos x                                  sin x
              dx                                    dx
      10)            = d (arcsin x) ;       11)           = d (arctg x) .
                                                        2
            1- x   2                              1 + x

Пример 1.
   dx        1 d (1 - 3 x)               1 du      1
ò 1 - 3x = - 3 ò 1 - 3x = u = 1 - 3x = - 3 ò u = - 3 2 u + C =


                                                     68

Страницы