Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 71 стр.

    ÏÃÓ                                                               Êàô ÂèÏÌ
                Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.



       2    1           1                         ( x 2 + x)
= ( x + x) × sin 2 x - ò sin 2 x × (2 x + 1) dx =            sin 2 x -
            2           2                              2

                          u = 2 x + 1, du = 2dx
  1
 - ò (2 x + 1)sin 2 xdx =                      1        =
  2                       dv = sin 2 xdx, v = - cos 2 x
                                               2
  ( x2 + x)          1æ 1                          1               ö
=           sin 2 x - ç - cos 2 x × (2 x + 1) - ò - cos 2 x × 2 dx ÷ =
      2              2è 2                          2               ø
    ( x2 + x)           (2 x + 1)          1              ( x2 + x)
=             sin 2 x +           cos 2 x - ò cos 2 xdx =           sin 2 x +
        2                   4              2                  2

  (2 x + 1)          1              (2 x 2 + 2 x - 1)           (2 x + 1)
+           cos 2 x - sin 2 x + C =                   sin 2 x +           cos 2 x + C .
      4              4                      4                       4

               В интегралах вида: ò P( x)ln x dx,                ò P( x)arcsin x dx, ò P( x)arctg x dx ,
где Р(х) –степенная функция, полагают u = ln x , либо u = arcsin x , либо
u = arctg x .

                             x arcsin 2 x
Пример 2.                ò              2
                                             dx =
                               1 - 4x
                                        2dx
     u = arcsin 2 x, du =
                                      1 - 4 x2
=                                                                                       =
                 xdx                        xdx  1 d (1 - 4 x 2 )    1
     dv =                    ,v= ò             =- ò               = - 1 - 4x2
                1 - 4x   2
                                      1 - 4 x2   8    1 - 4x2        4

           æ 1                ö      1              2dx
= arcsin 2 x × ç -  1 - 4 x 2 ÷ - ò - 1 - 4 x2 ×             =
           è 4                ø      4             1 - 4x 2
   1                            1       1                          x
=-   1 - 4 x 2 × arcsin 2 x + ò dx = -     1 - 4 x 2 × arcsin 2 x + + C .
   4                            2       4                          2

Пример 3.
                                                         2 xdx
                             u = ln( x 2 + 1), du =
ò ln( x
           2
               + 1)dx =                                  x 2 + 1 = x ln( x 2 + 1) -
                             dv = dx,        v = ò dx = x



                                                           71