Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
73
Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла, имеет
два корня: простой
1
1
x
=
и кратный
2
1
x
=-
(кратность которого
2
3
k
=
), по-
этому разложение дроби на простейшие имеет вид
32
3
( 1)( 1)
xxx
xx
+++
-+
=
23
11
( 1) ( 1)
AВСD
xx
xx
+++
-+
++
=
Приведём правую часть к общему знаменателю
=
32
3
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
Aх Вх x Сx x Dx
xx
++-++-++ -
-+
Приравняем числители исходной и полученной дробей
32 32
3 9 10 2 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)
хх х Ах Вхx Сxx Dx
+++=++-++-++-
при
1
х
=
получим
248
A
=
, отсюда следует, что А=3;
при
1
х
=-
получим
22
D
- =-
Þ D =1.
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов В и С применим
метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем коэффициенты
при
3
x
и при
0
x
( или положим
0
x
=
) слева и справа от знака равенства
3
0
3 3 0;
2 2 0.
х АВВА
х АВСD CABD
=+Þ=-=
=---Þ=---=
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь может
быть представлена в виде
32
3
( 1)( 1)
xxx
xx
+++
-+
=
3
31
1
( 1)
x
x
+
-
+
и, следовательно,
32
3
3 9 102
( 1)( 1)
xxx
dx
xx
+++
-+
ò
=
32
311
3ln1
( 1)
( 1) 2( 1)
dx dx x C
x
хx
= + =--+
-
++
òò
.
Пример 2
.
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
dx
xxх
+ ++
+ ++
ò
Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла, име-
ет действительный кратный корень
2
x
=-
(кратность которого
1
2
k
=
), квад-
ратный трёхчлен
2
23
хх
++
имеет
80
D
=-<
, поэтому разложение дроби на
простейшие имеет вид
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
xxх
+ ++
+ ++
=
22
2
(2) 23
A B MxN
x
x xx
+
++
+
+ ++
=
Приведём правую часть к общему знаменателю
    ÏÃÓ                                                            Êàô ÂèÏÌ
             Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

  Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла, имеет
два корня: простой x1 = 1 и кратный x2 = -1 (кратность которого k2 = 3 ), по-
этому разложение дроби на простейшие имеет вид
           3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
                             A    В        С         D
                                +     +=        +          =
         ( x - 1)( x + 1)3 x - 1 x + 1 ( x + 1)2 ( x + 1)3
Приведём правую часть к общему знаменателю
           A( х + 1)3 + В ( х - 1)( x + 1) 2 + С ( x - 1)( x + 1) + D( x - 1)
       =
                                      ( x - 1)( x + 1)3

Приравняем числители исходной и полученной дробей
3 х3 + 9 х 2 + 10 х + 2 = А( х + 1)3 + В( х - 1)( x + 1) 2 + С ( x - 1)( x + 1) + D( x - 1)
при х = 1 получим 24 = 8A , отсюда следует, что А=3;
при х = -1 получим -2 = -2D Þ D =1.
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов В и С применим
метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем коэффициенты
при x3 и при x 0 ( или положим x = 0 ) слева и справа от знака равенства
                       х3 3 = А + В Þ В = 3 - А = 0;
               х 0 2 = А - В - С - D Þ C = A - B - D - 2 = 0.
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь может
быть представлена в виде
                              3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2              3       1
                                                             =        +
                                    ( x - 1)( x + 1)3            x - 1 ( x + 1)3
и, следовательно,
    3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2                  3               1                            1
ò      ( x - 1)( x + 1)3
                              dx = = ò
                                         ( x - 1)
                                                  dx + ò
                                                         ( х + 1) 3
                                                                    dx = 3ln x - 1 -
                                                                                     2( x + 1) 2
                                                                                                 +C.


                      2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10
Пример 2.           ò ( x + 2)2 ( x2 + 2 х + 3) dx
      Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла, име-
ет действительный кратный корень x = -2 (кратность которого k1 = 2 ), квад-
ратный трёхчлен х 2 + 2 х + 3 имеет D = -8 < 0 , поэтому разложение дроби на
простейшие имеет вид
    2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10  A       B       Mx + N
                                =+         +              =
 ( x + 2)2 ( x 2 + 2 х + 3) x + 2 ( x + 2)2 x 2 + 2 x + 3
Приведём правую часть к общему знаменателю


                                                        73

Страницы