Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
78
Функция
()
fx
в этом случае называется интегрируемой на [a, b].
Пусть
()
fx
непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует
неопределённый интеграл
() ()
fxdxFxC
=+
ò
и имеет место формула
() () () ()
b
b
a
a
f xdx Fb Fa Fx
=-=
ò
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если
fx
³
на [a, b], то геометрически определённый интеграл вы-
ражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
()
у fx
=
, осью Ох и прямыми
,
xaxb
==
.
П р и м е р ы в ы ч и с л е н и я о п р е д е л ё н н ы х
и н т е г р а л о в
Пример 1.
6
22
23
9
dx
xx
-
ò
. Заданный интеграл берётся с помощью тригономет-
рической подстановки (см. 1.2)
cos
a
x
t
= , где а =3.
2
2
3
6
2
2
22
6
23
3 3sin
,
cos
cos
9 3tg,
3sin cos
3
cos 9 3tg
9
2 3 cos
26
1
6 cos
23
t
x dx dt
t
t
xt
dx tt
dt
tt
xx
x tt
x tt
p
p
==
-=
×
= ==
p
××
-
= Þ = Þ=
p
= Þ = Þ=
òò
=
333
3
6
666
sin 1 sin cos 1 sin
cos
9tg9sin99
tttt
dt dt t dt
tt
ppp
p
p
ppp
×
= = ==
òòò
=
1 1 3 1 31
(sin 3 sin 6) ( ) 0,04
9 9228
-
p-p=-==.
    ÏÃÓ                                                           Êàô ÂèÏÌ
            Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

          Функция f ( x) в этом случае называется интегрируемой на [a, b].
          Пусть f ( x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует
неопределённый интеграл                 ò f ( x)dx = F ( x) + C      и имеет место формула
                                        b                                          b
                                        ò f ( x)dx = F (b) - F (a) = F ( x) a ,
                                        a
       которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
        Если f ( x ) ³ 0 на [a, b], то геометрически определённый интеграл вы-
ражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
у = f ( x) , осью Ох и прямыми x = a , x = b .

                     Примеры                вычисления определённых
                                              интегралов
          Пример 1.
           6
                     dx
           ò     2    2
                                . Заданный интеграл берётся с помощью тригономет-
          2 3x       x -9
                                                   a
рической подстановки (см. 1.2) x =                     , где а =3.
                                                 cos t
                                        3            3sin t
                                    x=       , dx =          dt
                                       cos t         cos 2 t
           6
                     dx               x 2 - 9 = 3tg t ,                          p3
                                                                                       3sin t × cos2 t
           ò                    =
                                                       3      p
                                                                             =     ò      2
                                                                                                         dt =
                                                                                 p 6 cos t × 9 × 3tg t
                 2    2
          2 3x       x -9           x = 2 3 Þ cos t =    Þt =
                                                      2       6
                                                   1      p
                                    x = 6 Þ cos t = Þ t =
                                                   2      3
    p3                  p3                           p3
         sin t      1         sin t × cos t      1                   sin t p 3
=    ò   9tg t
               dt =
                    9     ò      sin t
                                            dt =
                                                 9   ò    cos t dt =
                                                                       9 p6
                                                                               =
    p6                  p6                           p6

    1                      1 3 1   3 -1
=     (sin p 3 - sin p 6) = ( - )=      = 0,04 .
    9                      9 2 2    8




                                                          78

Страницы