Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
80
2. Если
()
fx
непрерывна при всех значениях
х
Î
[a, b], кроме точки с,
в которой
()
fx
имеет разрыв второго рода, то
00
() lim () lim ()
bcb
aac
-e
e® d®
+d
=+
òòò
,
если эти пределы существуют и конечны. В этом случае интеграл
()
b
a
f x dx
ò
называется несобственным интегралом от неограниченной функ-
ции.
Если приведённые выше пределы конечны, то говорят, что несобст-
венные интегралы сходятся, если нет, – то расходятся.
Примеры. Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость.
1)
34
4 564
45 45
66
000
1(21)1
lim lim(21) (21)
88
(21) (21)
bb
bb
xdx dx
x dx
xx
¥
-
®¥ ®¥
+
= = + +=
++
òòò
=
51
1
1
44
66
4
6
0
1 (2 1) 1 (2 1) 1
lim lim lim 6(2 1)
51
8 88
1
66
b
b bb
xb
b
-+
®¥ ®¥ ®¥
++
= = + =¥
-+
,т.е. данный
интеграл расходится.
2)
22
2
000
1
lim lim
3 99
2
2 6 6 2( 3 3)
23
2 44
bb
bb
dx dx dx
x х xx
xx
¥
®¥ ®¥
===
++ ++
+× +-+
òòò
=
2
0
0
3
2
1 11
2
lim lim arctg
22
33
33
2
24
b
b
bb
x
dx
x
®¥ ®¥
æö
+×
ç÷
èø
=×=
æö
++
ç÷
èø
ò
=
0
1 23
lim arctg
33
b
b
x
®¥
+
=
1 23 31
lim (arctg arctg ) ( )
23
3 3 33
b
b
®¥
+ pp
- = -=
=
3
18
63
pp
= . Предел равен конечному числу, значит, интеграл сходится.
    ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
              Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

      2. Если f ( x) непрерывна при всех значениях х Î [a, b], кроме точки с,
в которой f ( x) имеет разрыв второго рода, то
                         b                c -e                      b
                         ò f ( x)dx = e®
                                      lim ò
                                         0
                                                 f ( x )dx + lim
                                                           d® 0
                                                                    ò     f ( x)dx ,
                         a                 a                       c +d
          если эти пределы существуют и конечны. В этом случае интеграл
b
ò f ( x)dx     называется несобственным интегралом от неограниченной функ-
a
ции.
       Если приведённые выше пределы конечны, то говорят, что несобст-
венные интегралы сходятся, если нет, – то расходятся.

     П р и м е р ы . Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость.
              ¥                       b                                   b
                      x3dx      1 d (2 x 4 + 1)      1
          1) ò            = lim ò               = lim ò (2 x 4 + 1)-5 6 d (2 x 4 + 1) =
               6   4     5 b ®¥ 8 6    4      5 b ®¥ 8
             0 (2 x + 1)         0 (2 x + 1)           0
                        5                          1
                       - +1                                                            1
                  4                              4
 1            (2 x + 1) 6 b      1        (2b + 1) 6        1
= lim                          =   lim                    =    lim 6(2b 4 + 1) 6 = ¥ , т.е. данный
 8 b ®¥      5                0 8 b ®¥               1      8 b ®¥
            - +1
             6                                       6
интеграл расходится.

              ¥                       b                                       b
                       dx                            dx   1           dx
     2) ò               = lim ò                   = lim ò                      =
              2                       2                   2         3    9 9
          0 2x + 6х + 6        0 2( x + 3 x + 3)
                          b ®¥                      b ®¥       2
                                                            0 x + 2× x + - + 3
                                                                    2    4 4
                                             æ    3ö
        b                                    ç x + ÷×2 b
      1         dx           1 1
                                       arctg è
                                                  2ø
= lim ò                = lim ×                            =
 b ®¥ 2 æ          2    b ®¥ 2      3             3     0
        0 x+ 3ö + 3
          ç      ÷                2
          è    2ø    4
      1       2x + 3 b       1        2b + 3         3     1 p p
= lim   arctg          = lim   (arctg        - arctg    )=   ( - )=
 b ®¥ 3          3 0 b ®¥ 3              3            3     3 2 3
     p        p 3
=         =       .     Предел равен конечному числу, значит, интеграл сходится.
    6 3        18




                                                     80

Страницы