Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
86
Следовательно,
22
2
2
3
33
11
ln tg
sin2
sin
x
l dx dx
x
x
pp
p
p
pp
= ===
òò
1
ln tg ln tg ln1 ln ln 3 0,55
46
3
pp
=-=-=@.
Пример 2
. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметриче-
скими уравнениями
4(2cos cos2 );
4(2sin sin 2 ).
х tt
y tt
=-
ì
í
=-
î
(
0
£ £p
).
Решение. Длину дуги находим по формуле
22
( ( )) ( ( ))
l x t y t dt
b
a
¢¢
=+
ò
,
где
0, , ( ) 4( 2sin 2sin 2 ) 8( sin sin 2 ),
xt t t tt
¢
a=b=p =- + =-+
( ) 4(2cos 2cos2 ) 8(cos cos2 ),
yt t t tt
¢
=-=-
22 2 22
( ) ( ) 64(sin 2sin sin 2 sin 2 cos 2cos cos2
x y t tt t t tt
¢¢
+=-++-+
2
cos 2 ) 64(2 2(cos2 cos sin 2 sin )) 128(1 cos )
t ttttt
+ =- + =-=
22
128 2sin 256sin
22
tt
=×= .
Следовательно,
2
0
00
256sin 16sin 16 2cos 32cos 32cos0
22 22
ttt
l dt dt
pp
p
p
= = =-× =- +=
òò
=32.
Пример 3.
Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
полярных координатах
34
3 ,0
3
e
j
p
r= £j£
.
Решение. Длину дуги находим по формуле
2
1
22
( ( )) ( ( ))
ld
j
j
¢
= rj+rjj
ò
,
где
34
12
3
0,,()3,
34
e
j
p
¢
j= j= rj=×
 ÏÃÓ                                                              Êàô ÂèÏÌ
            Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.

                            p2                     p2
                                     11              x p2
Следовательно, l = ò         dx = ò       dx = ln tg      =
                         2          sin x            2 p3
                  p3 sin   x     p3
           p        p           1
= ln tg      - ln tg = ln1 - ln    = ln 3 @ 0,55 .
           4        6            3

     П р и м е р 2 . Вычислить длину дуги кривой, заданной параметриче-
скими уравнениями
                              ì х = 4(2cos t - cos 2t );
                              í                          ( 0 £ t £ p ).
                              î y = 4(2sin t - sin 2t ).
          Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле
                                         b
                                   l = ò ( x¢(t )) 2 + ( y ¢(t )) 2 dt ,
                                         a
где a = 0, b = p,        x¢(t ) = 4( -2sin t + 2sin 2t ) = 8(- sin t + sin 2t ),
                         y ¢(t ) = 4(2cos t - 2cos 2t ) = 8(cos t - cos 2t ),
( x¢)2 + ( y ¢)2 = 64(sin 2 t - 2sin t sin 2t + sin 2 2t + cos 2 t - 2cos t cos 2t +
+ cos2 2t ) = 64(2 - 2(cos 2t cos t + sin 2t sin t )) = 128(1 - cos t ) =
               t            t
= 128 × 2sin 2 = 256sin 2 .
               2            2
       Следовательно,
      p                    p
                  2 t             t                t p          p
l = ò 256sin          dt = ò 16sin dt = -16 × 2cos     = - 32cos + 32cos 0 =
                    2             2                20           2
      0                    0
          =32.

     П р и м е р 3 . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
                                           p
полярных координатах r = 3e3j 4 , 0 £ j £ .
                                           3
     Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле
                                             j2
                                     l=      ò    (r(j))2 + (r¢(j)) 2 d j ,
                                             j1
                         p              3
где       j1 = 0, j2 =     , r¢(j) = 3 × e3j 4 ,
                         3              4



                                                     86

Страницы