Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Выделим в знаменателе полный квадрат:
x
2
– 2x +2=(x
2
– 2·1·x +1) – 1+2= (x – 1)
2
+1.
Сделаем замену t=x – 1, тогда x=t+1, dx=dt.
∫∫
+
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+=
−=
=
+−
−
dt
t
t
dtdxtx
xt
dx
xx
x
1
2)1(2
,1
1
22
22
22
.
Раскроем в числителе скобки
∫∫
+
=
+
−
+
dt
t
t
dt
t
t
1
2
1
2)1(2
22
и внесем 2t под знак
дифференциала
.
11
2
2
2
2
∫∫
+
=
+ t
dt
dt
t
t
Получим табличный интеграл
.1ln
1
2
2
2
Ct
t
dt
++=
+
∫
Далее используем замену t=x – 1:
.22ln1ln
22
CxxCt ++−=++
2) Вычислить
∫
++
−
dx
x
x
x
54
13
2
.
Решение.
В знаменателе выделим полный квадрат:
x
2
+4x +5=(x
2
+ 2·2·x + 4) – 4 +5=(x+2)
2
+1.
Сделаем замену: t=x +2, тогда x=t – 2, dx=dt.
dt
t
t
dtdxtx
xt
dx
xx
x
∫∫
+
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=−=
+=
=
++
−
1
1)2(3
,2
2
54
13
22
. Раскроем в числителе скобки:
.
1
73
1
163
1
1)2(3
222
∫∫∫
+
−
=
+
−
−
=
+
−−
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
Разобьем дробь на разность двух дробей и
получим два интеграла:
∫∫∫∫
+
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
+
−
1
7
1
3
1
7
1
3
1
73
22222
t
dt
dt
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
. В пер-
вом интеграле внесем под знак дифференциала tdt=
2
1
dt
2
, а второй интеграл уже
табличный:
Ctarctgt
t
dt
t
dt
t
dt
dt
t
t
+−+=
+
−
+
=
+
−
+
∫∫∫∫
)(71ln
2
3
1
7
1
2
3
1
7
1
3
2
22
2
22
. Вер-
немся к изначальной переменной x:
.)2(754ln
2
3
)(71ln
2
3
22
CxarctgxxCtarctgt ++−++=+−+
18

Страницы