Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
x
2
–2x +2=(x
2
–2·1·x +1) – 1 +2= (x – 1)
2
+1.
Сделаем замену: t=x – 1, тогда x=t+1, dx=dt.
∫∫
+
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+=
−=
=
+−
−
dt
t
t
dtdxtx
xt
dx
xx
x
1
2)1(2
,1
1
22
22
22
.
В числителе раскроем скобки:
∫∫
+
=
+
−
+
dt
t
t
dt
t
t
1
2
1
2)1(2
22
и внесем t под
знак дифференциала
∫∫
+
=
+ 11
2
2
2
2
t
dt
dt
t
t
. Получили табличный интеграл
() ()
∫∫
++⋅=+=
+
−
.121
1
2
1
22
2
1
2
2
2
Ctdtt
t
dt
Вернемся к переменной x:
() ()
.22222212
2
2
1
2
2
1
2
CxxCxxCt ++−⋅=++−⋅=++⋅
2) Вычислить
dx
xx
x
∫
++
−
53
42
2
.
Решение.
В подкоренном выражении выделим полный квадрат:
x
2
+ 3x + 5= (x
2
+2·
2
3
·x+
4
9
) –
4
9
+5=(x +
2
3
)
2
+
4
11
.
Сделаем замену: t=x +
2
3
, тогда x=t –
2
3
, dx=dt.
dt
t
t
dtdxtx
xt
dx
xx
x
∫∫
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−=
+=
=
++
−
4
11
4
2
3
2
,
2
3
2
3
53
42
2
2
. В числителе раскроем
скобки
∫∫
+
−
=
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
dt
t
t
dt
t
t
4
11
72
4
11
4
2
3
2
22
и разобьем интеграл на разность
∫∫∫∫
+
−
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
+
−
4
11
7
4
11
2
4
11
7
4
11
2
4
11
72
22222
t
dt
dt
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
.
21

Страницы