Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

В этом разделе рассмотрим интегрирование дробей, в числителе и знаме-
нателе которых находятся многочлены n-ой степени P
n
(x) и m-ой степени Q
m
(x):
)(
)(
xQ
xP
m
n
. Многочлен P
n
(x) называется многочленом n-ой степени, если
P
n
(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n - 1
+a
2
x
n – 2
+ a
3
x
n – 3
+...+a
n - 2
x
2
+ a
n - 1
x+a
n
, где а
k
R
∈
.
Интегрирование рациональных дробей состоит из двух этапов:
1) определяем является ли дробь правильной (если n < m) или непра-
вильной (если n ≥ m). Если дробь неправильная, нужно выделить целую часть,
например, путем деления числителя на знаменатель. В результате должна полу-
читься целая часть и правильная дробь, у которой степень числителя будет
меньше
степени знаменателя. Интегрирование целой части не составляет труда,
а интегрирование правильной дроби описано во втором этапе.
2) правильную дробь, раскладываем на сумму простейших дробей.
Далее интеграл от полученной суммы вычисляется как сумма интегралов от
каждой из простейших дробей.
Простейшие дроби – это дроби вида
.
)(
;;
)(
;
22
kk
cbxx
BAx
cbxx
BAx
ах
А
ах
А
++
+
++
+
−
−
Разложение правильной дроби на простейшие.
1° Пусть многочлен в знаменателе Q
m
(x) имеет т различных действитель-
ных корней: х
1
=b
1
, x
2
=b
2
, ... x
m
=b
m
. Тогда можно записать
Q
m
(x)=(x – b
1
)(x – b
2
)(x – b
3
)·...·(x – b
m
).
Дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
запишем в виде:
)(
)(
xQ
xP
m
n
=
mm
n
bx
K
bx
C
bx
B
bx
A
bxbxbxbx
xP
−
++
−
+
−
+
−
=
−⋅⋅−−−
...
)(...))()((
)(
321321
,
где A, B, C, ... , K – неопределенные коэффициенты.
Чтобы определить значения коэффициентов A, B, C, ... , K , надо:
23

Страницы