ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
x или от ctg x. Далее, чтобы упростить вид интегрируемого выражения, делаем
замену для tg x:
p=tg x, тогда x=arctg p и dx=d(arctg p)=
2
1
1
p+
dp. Либо для ctg x: q=ctg x, тогда
x=arcctg q и dx=d(arcctg q)= –
2
1
1
q+
dq.. В результате интегрирования получаем
функцию, зависящую от p или q, и возвращаемся к изначальной переменной x:
p=tg x или q=ctg x.
Пример
1) Вычислить
∫
dx
x
x
4
2
cos
sin
.
Решение.
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
==
=+⋅=⋅=⋅=
∫∫∫∫
2
22
2
2
22
2
4
2
1
,
)1(
cos
1
cos
1
cos
sin
cos
sin
p
dp
dx
arctgpxtgxp
dxxtgxtgdx
x
xtgdx
xx
x
dx
x
x
.
33
1
)1(
33
2
2
22
C
xtg
C
p
dpp
p
dp
pp +=+==
+
+=
∫∫
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить.
1)
∫
dx
x
x
6
4
cos
sin
; 2)
dx
x
x
∫
+
2
cos41
2sin
; 3)
dx
x
x
∫
−
22
2
)sin1(
sin
.
Ответы.
1)
C
xtg
+
5
5
; 2)
Cx ++−
2
cos41ln
4
1
; 3)
C
xtg
+
3
3
.
42
