ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Для того, чтобы упростить интегралы данного вида применяют формулы
понижения степени: sin
2
x=
2
2cos1 x−
, cos
2
x=
2
2cos1 x
+
. Таким образом, все подын-
тегральное выражение сводится к функции от cos(2x) и дифференциалу
d(cos 2x).
Пример
1) Вычислить
.
∫
xdx
2
cos
Решение.
()
(
)
.2sin
4
1
2
1
2sin
2
1
2
1
2cos
2
1
2cos1
2
1
2
2cos1
cos
2
Cxx
Cxxxdxdxdxxdx
x
xdx
++=
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=+=
+
=
∫∫∫∫∫
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить.
1)
; 2) ; 3) ; 4) ; 5)
∫
xdx
4
cos
∫
xdxx
22
cossin
∫
xdx
6
sin
∫
xdxx
44
cossin
dx
x
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
cos
4
.
Ответы.
1)
Cxxx +++ 2sin
4
1
8
3
4sin
32
1
; 2)
Cxx +− 4sin
32
1
8
1
;
3)
Cxxxx +−++ 2sin
6
1
4sin
64
3
2sin
16
5
8
13
3
; 4)
C
xx
x ++−
2048
8sin
128
4sin
128
3
;
5)
Cxxx +++ 2sin
16
1
sin
2
1
8
3
.
4°
, k·n<0.
∫
dxxxf
nk
)cos,(sin
22
Если в интегралах данного вида прибегнуть к предыдущему методу ре-
шения, то подынтегральная функция усложнится. Здесь целесообразнее исполь-
зовать следующее преобразование: tg x=
x
x
cos
sin
или ctg x=
x
x
sin
cos
(см. Приложе-
ние). Таким образом, вся подынтегральная функция становится функцией от tg
41
