Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Теперь sin
2
x в числителе выразим через cos x: sin
2
x=1 – cos
2
x (см. При-
ложение).
()
.cos
cos
1
cos
1
cos
coscoscoscos1
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos1
)cos(
cos
sin
1
2
2
2
2
22
2
2
2
Cx
x
Cx
x
xdxxdxd
x
xd
x
x
x
xd
x
x
xd
x
x
++=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−=−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
−
−=−
−
−
∫∫∫
∫∫∫
Решим этот же пример с помощью замены переменной. В подынтеграль-
ной функции в четной степени стоит cos x: cos
–2
x. Делаем замену t=cos x,
dx=
dt
t
2
1
1
−
−
.
(
)
(
)
=
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
=
=
∫∫∫
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dx
xt
dx
x
x
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
1
1
11
1
1
cos
cos
sin
.cos
cos
111
1
11
22
2
Cx
x
Ct
t
Ct
t
dt
t
dt
t
t
++=++=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
−
−=
∫∫
Как и следовало ожидать, результаты в первом и втором случае получи-
лись одинаковыми.
2) Вычислить
∫
dxxx sincos
3
.
Решение.
Этот интеграл тоже вычислим двумя способами: внесением под знак
дифференциала и заменой переменной.
Рассмотрим сначала внесение под знак дифференциала. В подынтеграль-
ной функции в нечетной степени стоит cos x, поэтому его вносим под диффе-
ренциал: cos
3
xdx=cos
2
x·cos xdx= cos
2
x·dsin x.
∫∫
= xdxxdxxx sinsincossincos
23
.
Далее выразим cos
2
x через sin x: cos
2
x=1 – sin
2
x (см. Приложение).
()
(
)
=−=−=
∫∫∫
xdxxxxdxxxdxx sinsinsinsinsinsinsin1sinsincos
222
39

Страницы