Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

sin
2k+1
xdx=sin
2k
x·sin xdx= sin
2k
x·(– dcos x)= – sin
2k
x·dcos x
и всю подынтегральную функцию надо свести к функции, зависящей только от
cos x .
Если же
, то cos
∫
+
dxxxf
nk
)cos,(sin
122
2n+1
xdx=cos
2n
x·cos x = cos
2n
x·dsin x, а в
подынтегральной функции все тригонометрические функции выражаются через
sin x.
Также интегралы вида
и можно
решать с помощью замены переменной. В этом случае за новую переменную
принимается функция, нестоящая в нечетной степени.
∫
+
dxxxf
nk
)cos,(sin
212
∫
+
dxxxf
nk
)cos,(sin
122
В интеграле
в нечетной степени не стоит cos x, значит,
делаем замену t=cos x, тогда x=arccos t, dx=d(arccos t)=
∫
+
dxxxf
nk
)cos,(sin
212
dt
t
2
1
1
−
−
. Напомним,
что sin x=
x
2
cos1 −
(см. Приложение), а sin
2k+1
x=
(
)
12
2
cos1
+
−
k
x
.
В интеграле
в нечетной степени не стоит sin x, значит,
делаем замену h=sin x, тогда x=arcsin h, dx=d(arcsin h)=
∫
+
dxxxf
nk
)cos,(sin
122
dh
h
2
1
1
−
. Напомним,
что cos x=
x
2
sin1−
(см. Приложение), а cos
2n+1
x=
(
)
12
2
sin1
+
−
n
x
.
Пример
1) Вычислить
.
cos
sin
2
3
∫
dx
x
x
Решение.
В данном примере sin x стоит в нечетной степени, поэтому его и вносим
под дифференциал: sin
3
x=sin
2
x·sin xdx=sin
2
xd(– cos x)= – sin
2
xd(cos x).
[]
∫∫
−=−== )cos(
cos
sin
cossin
cos
sin
2
2
2
3
xd
x
x
xdxdxdx
x
x
.
38

Страницы