ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
tg
(
)
2
х
, т.е. x=2arctg t, тогда dx=2·d(arctg t)=2
2
1
1
t
+
dt. В получившейся в резуль-
тате интегрирования функции от переменной t надо перейти обратно к tg
(
)
2
х
.
Универсальная тригонометрическая подстановка может использоваться
во всех случаях, когда подынтегральная функция содержит sin x или cos x , но
при этом могут получаться сложные подынтегральные выражения, поэтому
иногда используют другие приемы (см. 2°, 3°).
Пример
1) Вычислить
∫
x
dx
sin
.
Решение.
Делаем замену, описанную выше.
()
()
.
2
lnln
)1(2
)1(2
1
2
1
2
1
2
2,
2
sin
2
2
2
2
2
C
x
tgCt
t
dt
tt
dtt
t
t
t
dt
t
dt
dx
arctgtxt
x
tg
x
dx
+=+==
+
+
=
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
==
=
∫∫∫∫
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить.
1)
∫
++ 5cos3sin4
x
x
dx
; 2)
∫
+
dx
x
x
x
x
cossin4sin
cos
; 3)
∫
−
x
dx
sin1
.
Ответы.
1)
()
C
x
tg
+
+
−
2
2
1
; 2)
(
)
(
)
C
x
tg
x
tg +−+ 5
2
3ln
15
1
2
ln
5
1
2
; 3)
()
C
x
tg
+
+
−
1
2
2
.
2°
∫
+
;)cos,(sin
212
dxxxf
nk
∫
+
.)cos,(sin
122
dxxxf
nk
В интегралах этого вида наиболее удобно внести под знак дифференциала
функцию, стоящую в нечетной степени, а оставшуюся подынтегральную функ-
цию привести к той функции, которая теперь стоит под знаком дифференциала.
Если
, тогда
∫
+
dxxxf
nk
)cos,(sin
212
37
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
