Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Второй интеграл рассмотрим более подробно. В знаменателе выделим
полный квадрат выражения, стоящего в скобках:
и сделаем
замену t=x+1.
1)1(22
22
++=++ xxx
∫∫
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=−=
+=
=
++
+
dt
t
t
dtdxtx
xt
dx
xx
x
2222
)1(
12
,1
1
)22(
32
.
Разобьем полученный интеграл на сумму интегралов
∫∫∫
+
+
+
=
+
+
222222
)1()1(
2
)1(
12
t
dt
dt
t
t
dt
t
t
и рассмотрим каждый из них отдельно.
Интеграл
∫
+
dt
t
t
22
)1(
2
вычисляется путем внесения t под знак дифферен-
циала:
.
22
1
1
1
)1(
)1(
)1()1(
2
2222
2
22
2
22
C
xx
C
tt
td
t
dt
dt
t
t
+
++
−
=+
+
−
=
+
+
=
+
=
+
∫∫∫
В интеграле
∫
+
22
)1(t
dt
в числителе прибавим и отнимем t
2
:
∫∫
+
−+
=
+
dt
t
tt
t
dt
22
22
22
)1(
1
)1(
. Далее разобьем полученный интеграл на два
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
tt
∫∫∫
+
−
+
+
=
+
−+
22
2
22
2
22
22
)1()1(
1
)1(
1
, первый из которых табличный
.)1()(
1)1(
1
222
2
CxarctgCtarctg
t
dt
dt
t
t
++=+=
+
=
+
+
∫∫
=
+
+
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
+
=
==
=
+
⋅
=
+
∫∫∫
)1(2)1(2
)1(2
1
,
)1(
,
)1()1(
22
222
2222
2
t
dt
t
t
t
v
t
tdt
dv
dtdutu
dt
t
tt
dt
t
t
Ctarctg
t
t
++
+
−
= )(
2
1
)1(2
2
.
Таким образом, второй интеграл
=
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=−=
+=
=
++
+
∫∫
dt
t
t
dtdxtx
xt
dx
xx
x
2222
)1(
12
,1
1
)22(
32
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
−+
+
−
=
+
−
+
+
+
+
=
∫∫∫
Ctarctg
t
t
tarctg
t
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
)(
2
1
)1(2
)(
1
1
)1()1(
1
)1(
2
2222
2
22
2
22
.)1(
2
1
22
1
)(
2
1
1
2
22
Cxarctg
x
x
x
Ctarctg
t
t
+++
+
+
−
=++
+
+−
=
35

Страницы