Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

59
.I
t
L
èíä
∂
∂
−=
ε
Óðàâíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì
ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè çàïèøåòñÿ òàê:
,)(
21
dt
dI
LIR
ñòð
−+−=
εϕϕ
ãäå ñèìâîë
∂
çàìåíåí íà d, òàê êàê ãåîìåòðèÿ öåïè íå èçìåíÿåòñÿ (x, y, z
îò t íå çàâèñÿò).
ñòp
dt
dI
LIR
εϕϕ
=−−+ )(
21
(*)
§ 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàêîíà Îìà äëÿ ñëó÷àÿ
ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ñòîðîííåé ÝÄÑ
Ïðåîáðàçóåì (*). Óìíîæèì îáå ñòîðîíû íà C (åìêîñòü)
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè.
dt
d
CI
dt
Id
LC
dt
dI
RC
ñòð
ε
=++
2
2
,
ãäå ñòîðîííþþ ÝÄÑ âîçüìåì ïåðèîäè÷åñêè çàâèñÿùåé îò âðåìåíè:
tiñòð
e
ω
εε
0
=
.
Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà âûáðàíà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è,
êîíå÷íûé ðåçóëüòàò áóäåò âåùåñòâåííûì. Ïðè ñîñòàâëåíèè ïðåäûäóùåãî
ðàâåíñòâà áûëî èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèå:
{}
)(
21
ϕ−ϕ−=−=
C
dt
d
Q
dt
d
I
, ÷òî ñëåäóåò èç VII óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà è îïðåäåëåíèÿ åìêîñòè, êàê ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû.
Ðàñïîëîæèì ÷ëåíû ïî óáûâàíèþ ïîðÿäêà ïðîèçâîäíîé:
ñòð
CiI
dt
dI
RC
dt
Id
LC
ωε
=++
2
2
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â ôîðìå ïðàâîé ÷àñòè:
                                    ∂
                                  ε èíä = − L
                                       I.
                                    ∂t
     Óðàâíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì
ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè çàïèøåòñÿ òàê:
                                                        dI
                      IR = (ϕ 1 − ϕ 2 ) + ε ñòð − L        ,
                                                        dt

ãäå ñèìâîë ∂ çàìåíåí íà d, òàê êàê ãåîìåòðèÿ öåïè íå èçìåíÿåòñÿ (x, y, z
îò t íå çàâèñÿò).
                              dI
                     IR + L      − (ϕ 1 − ϕ 2 ) = ε ñòp (*)
                              dt




      § 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàêîíà Îìà äëÿ ñëó÷àÿ
  ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ñòîðîííåé ÝÄÑ

     Ïðåîáðàçóåì (*). Óìíîæèì îáå ñòîðîíû íà C (åìêîñòü)
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè.
                     dI      d 2I      dε ñòð
                     RC + LC 2 + I = C        ,
                     dt      dt          dt
     ãäå ñòîðîííþþ ÝÄÑ âîçüìåì ïåðèîäè÷åñêè çàâèñÿùåé îò âðåìåíè:
                                  ε ñòð = ε 0 e iωt .
     Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà âûáðàíà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è,
êîíå÷íûé ðåçóëüòàò áóäåò âåùåñòâåííûì. Ïðè ñîñòàâëåíèè ïðåäûäóùåãî
ðàâåíñòâà áûëî èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèå:

            Q = − {C (ϕ1 − ϕ 2 )} , ÷òî ñëåäóåò èç VII óðàâíåíèÿ
         d       d
     I =−
         dt      dt
Ìàêñâåëëà è îïðåäåëåíèÿ åìêîñòè, êàê ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû.
Ðàñïîëîæèì ÷ëåíû ïî óáûâàíèþ ïîðÿäêà ïðîèçâîäíîé:
                          d 2I  dI
                     LC       2
                                   + I = Ciωε ñòð
                                  + RC
                       dt       dt
     Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â ôîðìå ïðàâîé ÷àñòè:


                                          59

Страницы